太陽翼基板的構型分析

于紅英，許棟銘，呂學庚

(哈爾濱工業大學機電工程學院，150001哈爾濱)

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太陽翼基板的構型分析

于紅英，許棟銘，呂學庚

(哈爾濱工業大學機電工程學院，150001哈爾濱)

摘要:針對太陽翼基板構型設計方法缺乏系統性和普適性問題，提出太陽翼基板構型的基本幾何模型——可展曲面．利用類比的方法，將可展曲面上的直母線當作基板間的轉動副，將直母線之間的曲面當作基板，建立可展曲面與基板構型之間的對應關系．從幾何學和機構構型的角度研究太陽翼基板的折展原理，建立不同基板構型的幾何特征約束方程．闡述太陽翼基板構型基本組成單元的概念并找到各基本單元，對現有的太陽翼基板構型進行分類，并對不同的構型進行分析，驗證了可展曲面與基板構型的對應關系．對新型太陽翼基板構型進行分析，并建立了對應的幾何模型．

關鍵詞:太陽翼基板;構型;可展曲面;折展原理;折紙

航天器電源系統中的太陽電池陣作為航天器的主要能量來源，是航天器不可或缺的組成部分．隨著航天任務的復雜性不斷增加，為了滿足航天器更多的功能要求，太陽電池陣的創新設計顯得尤為重要．可展式太陽翼作為主要的太陽電池陣，廣泛應用于各類航天器．

國內外關于可展式太陽翼的結構和機構的研究取得了一系列的成果．鄧宗全等［1－2］一直致力于空間折展機構的理論及應用研究; Puig等［3］總結了現有的不同技術在大型可展結構中的應用;張淑杰［4－5］、陳烈民［6－7］等也致力于空間機械可展結構的設計研究和理論分析．但是關于可展式太陽翼基板構型的研究稀少，基板構型與其折展能力之間的關系未得到足夠的重視．對于不同基板構型的太陽翼，其壓緊與釋放機構、展開機構和驅動機構都是針對特定的基板構型而設計的．理解太陽翼基板的構型設計原理，不僅有助于太陽翼的整體設計，而且有利于簡化太陽翼機構，從而可以快速有效地設計出實用的大面積可展式太陽翼，對減輕太陽翼的質量和提高其可靠性具有重要的意義．

日本著名的構造工學專家Miura［8－9］從現實生活中受到啟發發明了“三浦折疊”(如圖1所示)，該構型已于1995年被應用于衛星上;楊柏翰大學的博士生Zirbel與美國國家航空航天局噴氣推進實驗室的機械工程師Trease合作完成了基于折紙的新型折疊式太陽電池陣［10－11］的設計(如圖2所示)，并即將運用于未來的空間設備上．這些創新均來自于生活靈感及設計經驗，沒有利用數學方法進行系統地分析．

本文將從幾何學和機構構型的角度系統地研究太陽翼基板構型與折展能力之間的關系，給出太陽翼基板構型基本組成單元的概念并找到各基本單元，建立不同基板構型的幾何特征約束方程．同時，運用本文提出的理論來分析現有的可展式太陽翼的基板構型，驗證該理論的正確性．最后，通過分析新型太陽翼基板構型建立對應的幾何模型．

圖1　三浦折疊的過程

圖2　新型折紙太陽電池陣

1　太陽翼基板的構型及其折展原理

太陽電池陣按構造可分為體裝式和可展式［7，12］．體裝式太陽電池陣是較早的一種航天器空間電源的形式之一，它是將太陽電池直接連接在航天器本體表面的某些部位上．由于航天器本體表面積有限，所附著的太陽電池數量受到極大限制，從而提供的能量也有限，只能用在功率需求不高的航天器上．可展式太陽電池陣又可分為太陽槳和太陽翼，兩者的區別主要在于基板的數量與展開方式不同．一般太陽翼的基板多、面積大、展開復雜．太陽翼還可根據不同的縮展方式，分為折疊式太陽翼和卷式太陽翼．折疊式太陽翼是由多塊相互連接的基板組成，在航天器發射時一直處于折疊收攏狀態，進入軌道后展開．與折疊式太陽翼不同，卷式太陽翼的收攏方式是把較大面積的基板卷成較小體積，收放在發射火箭側壁內，到達既定軌道后由地面控制其打開．按照基板抵抗變形的能力不同，可以把太陽電池陣分為3類:剛性基板、半剛性基板和柔性基板的太陽電池陣．

由于太陽翼基板的最終展開形態是平面，因此，以平面為切入點對太陽翼的基板形狀和轉動副分布特征進行研究，尋找能夠展成平面的太陽翼應該具有的幾何特征、對基板形狀的特定要求以及轉動副的分布規律等．要解決上述問題，必須首先找到具備展成平面能力的空間曲面以及該種曲面如何展開可得到平面．可展曲面具備展成平面的能力，在局部上可以與平面建立保長對應，即沿可展曲面的任意一條直母線剪開后可以貼合在一個平面上．下面將詳細介紹可展曲面的概念和性質，建立其與太陽翼基板構型的對應關系．

1．1可展曲面及其與基板構型對應關系

可展曲面是一類重要的直紋面，直紋面有一族直母線，若沿它的每一條直母線只有一個切平面，則這種直紋面稱為可展曲面．可展曲面只有3種:柱面、錐面和空間曲線的切線曲面．若某曲面是可展曲面，那么必定是由這3種曲面的一種或幾種組成;反之，若某曲面由這3種曲面的一種或幾種組成，則該曲面必定能展為平面．可展曲面及其相關定義的數學表示如下．

若曲面S的參數方程表示r(u，v)=a(u) + vb(u)，其中b(u)是單位向量，則S是直紋面．如果直紋面滿足(a'(u)，b(u)，b'(u) )=0，則該直紋面為可展曲面，其中a'(u)和b'(u)分別為向量a(u)和向量b(u)的切向量，(a'(u)，b(u)，b'(u) )=0表示a'(u)、b(u)和b'(u)的混合積為0．空間曲線Γ=a(u)是可展曲面的準線，b(u)是可展曲面直母線上的單位向量．當b(u)是常向量時，曲面S為柱面，如圖3(a)所示;當a(u)為常向量時，曲面S為錐面，如圖3(b)所示;當a'(u) / /b(u)時，曲面S為切線曲面，如圖3(c)所示．

圖3　可展曲面分類

可展曲面在展開過程中繞其直母線旋轉展開成平面，它在繞直母線展開且未展成平面時仍然保持可展曲面的幾何特征，即柱面在展開過程中仍然是柱面，錐面仍然是錐面，切線曲面也仍然是切線曲面．從可展曲面參數方程的角度進行分析，對于柱面而言，其直母線的方向向量b(u)為常向量，故柱面上所有的直母線相互平行;對于錐面而言，其參數方程中a(u)是常向量，故錐面上所有直母線交于空間一點;曲線的切線曲面的參數方程中a'(u) / /b(u)，亦即準線上某點的切線與該點處的直母線平行．

可展曲面在展開成平面的過程中繞直母線旋轉展成平面．類比到太陽翼基板構型上，可展曲面代表所有太陽翼基板組成的面，可展曲面上的直母線代表太陽翼基板間的轉動副，兩直母線之間的曲面代表基板．

太陽翼基板構型主要由基板和基板間的轉動副的分布決定．基板間的轉動副和基板都可以利用可展曲面的參數方程來表示．確定轉動副需要確定轉軸方向及其位置．基板間的轉動副轉軸方向可由可展曲面直母線上的單位矢量b(u)表示，而轉動副位置由可展曲面上對應的點r(u，v)=a(u) + vb(u)來描述．單塊剛性基板一般為平面，平面可由兩條不共線的共面直線來確定，所以對于夾在轉動副之間的基板可由兩條連接基板的轉動副軸線所在直線來確定其位姿，對于只有一條轉動副與其相連的基板可由這條轉動副軸線所在直線與基板邊界所在直線確定其位姿．

1．2太陽翼基板基本構型分析

1．2．1卷式柔性太陽翼基板構型

如果可展曲面上所有的直母線都作為轉動副，對應的太陽翼基板是柔性的，并不存在剛性部分，這種結構在展開且未展成平面的過程時時刻刻都是可展曲面，所以這種結構能展開成平面，它適用于卷式柔性太陽翼．圖4(a)為簡單的柱面型柔性太陽翼基板構型，圖4(b)為簡單的錐面型柔性太陽翼基板構型，圖4(c)為漸開線螺旋面型柔性太陽翼基板構型，是切線曲面型柔性太陽翼基板構型的一種．

圖4　卷式柔性太陽翼基板構型分類

1．2．2折疊式太陽翼基板構型

如果在可展曲面上選擇有限條直母線當作轉動副，對應于太陽翼的基板構型上，相鄰直母線之間的曲面代表基板，可展曲面上的直母線則代表基板之間的連接轉動副，這種太陽翼基板構型既適用于折疊式剛性太陽翼也適用于折疊式柔性太陽翼．下面針對這種基板構型的不同類型，闡述其與可展曲面的對應關系和折展原理，同時給出不同太陽翼基板構型對應的幾何特征約束方程．

1．2．2．1柱面型折疊式基板構型分析

柱面型折疊式基板構型是將柱面的任意有限條直母線作為轉動副且把直母線之間的曲面當做基板形成的太陽翼基板構型，該基板構型任意相鄰的兩轉動副相互平行．下面以柱面上選取的4條直母線作為轉動副為例來說明這種基板構型能展開成平面．如圖5(a)所示，4條直母線分別為AB、CD、EF、GH．如果把直母線之間的曲面當作剛體，則其轉化成的等效機構如圖5(b)所示．在不改變剛體上連接的運動副相對位置的情況下，可以把直母線之間曲面換成平面(如圖5(c)所示)．在該機構展開成平面的過程中，由于轉動副的軸線始終平行(如圖5(d)所示)，轉動副代表的直母線始終平行(如圖5(e)所示)，且從一個柱面上的直母線變成了另一個柱面上的直母線，即從圖5(a)所示的柱面變到圖5(f)所示的柱面，而該柱面能展開成平面，所以該機構的轉動副一直處于柱面上，直到展成平面(如圖5(g)所示)，圖5(h)為圖5(g)的機構簡圖．

圖5　柱面型折疊式太陽翼基板展開過程

下面用數學公式來描述柱面型折疊式基板構型的幾何特征．從同一構態的幾何特征、不同構態的幾何特征和最終構態的幾何特征3方面來建立約束方程．ri(uj，vk)表示構態i的第j個轉動副軸線上的某點，它的表達式如下:式中: bi(uj)為構態i的第j個轉動副轉軸所在直母線的方向向量，ai(uj)為該轉軸所在的直母線與準線交點的位置向量，vk為用來確定轉軸上點的位置參數．當i=L時，基板處于終態，即完全展開構態．

對于含有n個轉動副的柱面型折疊式基板構型，在同一構態中所有轉動副軸線都平行，對應的約束方程為

在不同構態中基板保持不變形，即在不同構態中任意一條軸線上的任意一點與其相鄰轉軸上的任意一點距離保持不變，對應的約束方程為

對于處于終態的基板構型，它的所有轉動副軸線都處于同一平面內，即任意一塊基板上的任意一條直線與相鄰基板上的任意一條直線共面，對應的約束方程為

在此說明，同一柱面型折疊式基板構型的邊界也處于柱面上，可以把其當做轉動副來對待．

如果基板是柔性的，在施加的力合適且機構不處于奇異狀態時，外力作用不會導致柔性基板變形．此情況與剛性基板類似，因為在展成平面的過程中機構始終存在自由度．

1．2．2．2錐面型折疊式基板構型分析

錐面型折疊式基板構型是利用錐面的任意有限條直母線作為轉動副且把直母線之間的曲面當做基板形成的太陽翼基板構型，該基板構型任意兩轉動副相交于一點．錐面型折疊式基板構型的分析方法與柱面型相似，它的等效機構的轉動副軸線從一個錐面上轉變到另一個錐面上，但始終處在錐面上，而錐面能展成平面，所以錐面型折疊式基板構型最終能展成平面．柔性基板和剛性基板都適用于這種基板構型．

下面用數學公式來描述錐面型折疊式基板構型的幾何特征．從同一構態的幾何特征、不同構態的幾何特征和最終構態的幾何特征3方面來建立約束方程．對于含有n個轉動副的錐面型折疊式基板構型，在同一構態中所有轉動副轉軸交于一點，對應的約束方程為

在不同構態中基板保持不變形，即在不同構態中任意一條轉動副軸線與其相鄰轉動副軸線夾角保持不變，對應的約束方程為

對于處于終態的基板構型，它的所有轉動副軸線都處于同一平面內，即任意一塊基板上的任意一條直線與相鄰基板上的任意一條直線共面，其對應的約束方程與式(1)相同．

在此說明，同一錐面型折疊式基板構型的邊界也處于錐面上，可以把其當做轉動副來對待．

1．2．2．3切線曲面型折疊式基板構型分析

柱面型和錐面型基板構型具有共同特點，即任意相鄰的兩個轉動副軸線始終處于同一個平面內．

利用切線曲面的有限條直母線作為轉動副且把直母線之間的曲面當作剛性基板形成的機構．一般情況下，任意選取相鄰的兩個轉動軸不處于同一個平面內，展開過程中不能把所有轉動副轉到同一平面內，它將最終無法展開成平面．如果直母線之間的曲面是柔性基板，那么只有這些柔性基板變形時，才能使切線曲面所代表的整個太陽翼展成平面．

由上述分析可知，可展曲面僅包括柱面、錐面和切線曲面，基板構型均可由柱面、錐面和切線曲面3類基本單元構成．柔性基板構型可由這3類基板單元和它們之間的組合構成，而剛性折疊式太陽翼基板構型僅有柱面、錐面及柱面錐面組合型這3類．

2　現有太陽翼基板的構型分析

可展式太陽翼是現今大部分航天器主要的電力來源，因此，它的設計對航天器至關重要．太陽翼基板的構型又是設計太陽翼展開機構、鎖定機構和釋放機構等其它機構的基礎，這些機構必須針對不同的太陽翼基板構型來設計．由于航天運載器結構尺寸的限制與高運載成本，太陽翼必須具有較高的折展比，以盡可能減輕質量．減小太陽翼質量主要有兩條途徑:使用較輕的材料和簡化太陽翼的結構或機構．在材料選擇一定的情況下，優化太陽翼結構顯得尤為必要．

下面從太陽翼基板的折展原理并結合基板構型的設計要求來分析現有的可展式太陽翼．在下文提到的折疊式剛性太陽翼基板構型的基板可以是剛性的也可以是柔性的，而折疊式柔性的太陽翼基板構型的基板必須是柔性的，否則不能展開成平面．其原因可以從機構學的角度進行解釋:折疊式剛性太陽翼構型可以等效成機構，如果它能展開成平面，說明這種機構在展開成平面的過程中一直存在自由度，而換成柔性基板對這種機構展開過程并不受影響．

2．1單柱面型太陽翼基板構型分析

單柱面型太陽翼基板構型是由單個柱面直母線為轉動副的太陽翼基板構型，主要有單柱面型折疊式剛性太陽翼和單柱面型卷式柔性太陽翼．單柱面型折疊式剛性太陽翼由尺寸相同的矩形基板組成，基板之間由轉動副連接，收攏后各個基板能完全貼合在一起，這種構型收攏時體積比較小，展開面積可以較大，但是它有多個自由度，控制復雜，需要鎖緊機構和同步機構等其他許多輔助機構．圖6(a)是其展開過程中的基板構型，這些轉動軸一直處于柱面上，圖6(b)是展開后的形狀．國際空間站的太陽翼［13］即采用該種基板構型．單柱面型卷式太陽翼的基板是柔性的，其展開過程雖不利于控制，但是收攏后是一個卷起的柱面，具有很大折展比(如圖7所示)，可以有效地減小質量，適用于大面積太陽翼．哈勃望遠鏡的太陽翼［12］就采用了這種基板構型，該構型可利用展開機構使其兩邊同時伸展成平面．

圖6　單柱面折疊式太陽翼基板展開過程

圖7　哈勃望遠鏡的太陽翼基板構型

2．2多柱面型太陽翼基板構型分析

三浦折疊型太陽翼［8－9］是一種多柱面型折疊式太陽翼．圖8(a)為三浦折疊型太陽翼基板半展開圖，可看做是橫向的兩種柱面組合而成，圖8(b)為兩種柱面的形狀，圖8 (c)為由這兩種柱面按照一定的規律組合成的太陽翼基板構型，其轉動副始終處于各自柱面上．同時也可以認為它是由兩種縱向柱面組合而成，圖8 (d)和圖8(e)分別為兩種縱向柱面的形狀和由這兩種柱面組成的太陽翼基板構型．

這種太陽翼基板構型只有一個自由度，可以不需要同步機構，展開機構能包含展開和同步兩種功能，展開控制簡單．收攏后各個面貼合在一起，折展比大，適合于各類太陽翼．但該構型也有其缺點，完全展開后收攏會十分困難，這與機構奇異有關．

2．3錐面型太陽翼基板構型分析

錐面型折疊式太陽翼一般由尺寸相同的三角形基板組成，有助于收攏時減小體積，增大折展比，柔性基板也適用這種太陽翼基板構型．Ultraflex太陽翼［14］就是采用該種構型，它可以環形展開，圖9(a)為其半展開的形狀，它的最終展開圖如圖9(b)所示．這種構型適用小面積的太陽翼，同時可作為空間太陽能發電站的基板模塊單元．

圖8　三浦折疊型太陽翼基板構型

圖9　超柔性太陽翼展開過程示意圖

2．4柱面錐面組合型太陽翼基板構型分析

柱面錐面組合型太陽翼基板構型是將多組柱面和錐面的直母線看作轉動副形成的基板構型．這是一種新型的太陽翼基板構型［10，15］，由楊柏翰大學和NASA的研究人員通過折紙得到啟發研制出來的．這種太陽翼基板構型如圖2所示，它的轉動副軸線分布是一種旋轉對稱圖形，由多個錐面和柱面融合在一起形成的太陽翼．圖10是柱面錐面組合型基板構型的基本旋轉圖形，該圖形的線條在折疊或展開的過程中一直處于錐面和柱面的組合圖形上．圖11為這類太陽翼基板構型的展開過程照片．這種太陽翼基板構型展開過程中基板會發生變形，但可將展開機構包含同步功能，集折疊式和卷式的優點于一身，在收攏或展開的過程中既折疊重合又旋轉卷縮，柱面錐面組合型太陽翼的折展比比較大．

圖10　基本旋轉圖形

圖11　折紙太陽翼的半展開照片

3　新型太陽翼基板構型分析及其模型

圖11所示的折紙太陽翼基板構型基板會發生變形，針對這個缺點設計一類新型剛性折疊式太陽翼基板構型．它也屬于折紙太陽翼基板構型，不僅具備了折紙太陽翼的優點，而且適用于剛性基板和柔性基板．圖12和圖13為新型剛性折疊式折紙太陽翼基板構型，這兩種基板構型分別屬于多錐面型基板構型和柱面錐面組合型基板構型，它們收攏時的形狀是以中心三角形為底面的三棱柱．通過改變中心正多邊形的邊數還可設計不同的構型以滿足不同需求．

圖12　新型多錐面型基板構型

圖13　新型柱面錐面組合型基板構型

圖12中新型多錐面型基板構型所對應的機構是3自由度的閉環過約束機構，選擇跟底面正三角形相連的3個直角三角形與正三角形形成的夾角作為分析該基板構型的獨立參數．

下面將建立多錐面型基板構型的幾何模型．圖14為多錐面型基板構型的半展開分析圖，圖中$1～$12代表12條基板間的轉動副．設底面正三角形的邊長為2，以它的一條邊為x軸，這條邊的中點為原點O，過該邊相對的頂點和原點的直線為y軸，z軸由右手螺旋法則確定．設β1為左邊的直角三角形與底面正三角形的夾角，其他兩個的直角三角形與底面相連的3個直角三角形按逆時針分別為β2和β3，其中0≤β1≤π/2，0≤β2≤π/2，0≤β3≤π/2．不難看出，該基板構型中所有的轉動副分布在3個融合的錐面上，錐面的頂點為底面正三角形的3個頂點，轉動副軸線$1、$5、$6和$7處于同一個錐面上，轉動副軸線$2、$8、$9和$10處于同一個錐面上，轉動副軸線$3、$4、$11和$12處于同一個錐面上，其中轉動副軸線$1、$2和$3分別同時處在兩個不同錐面上．對于分布在同一錐面上的轉動副在同一構態中所有轉動副轉軸都交于一點，即應滿足式(2) ;在不同構態中任意一條轉動副軸線與其相鄰轉動副軸線夾角保持不變，即應滿足式(3) ;處于終態的所有轉動副軸線都處于同一平面內，即應滿足式(1)．通過錐面的參數方程r(u，v)=a(u) + vb(u)結合錐面型折疊式基板幾何特征約束方程，可以確定所有轉動副的參數表達式$ (u，v)=a(u) + vb(u)，轉動副參數表達式中包含轉動副的位置和轉軸的方向信息，其中u是β1、β2和β3的函數，v可取任意值．下面式(4)～(12)是各轉動副的參數表達式．

圖14　新型多錐面型基板構型半展開分析圖

轉動副$6、$9和$12的參數表達式太長，未在文中列出．多錐面型基板構型中的所有基板都連接著至少兩條軸線相交的轉動副，而轉軸副已確定，基板的位姿也將確定，所以所有轉動副的參數方程就是該基板構型的幾何模型．

4　結　論

1)從機構構型角度，把太陽翼基板構型等效成機構來分析折展原理，并建立了不同基板構型的幾何特征約束方程．

2)闡述了太陽翼基板構型均可由柱面、錐面、切線曲面或三者之間的組合演變而來，為太陽翼基板構型創新設計奠定基礎．

3)對現有的太陽翼基板構型進行分類，通過分析現有的太陽翼基板構型驗證了它與可展曲面之間的對應關系．

4)利用可展曲面參數方程和幾何特征約束方程建立了新型太陽翼基板構型的幾何模型，對太陽翼基板構型建模具有借鑒意義．

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(編輯楊波)

Configuration analysis of solar wing panels

YU Hongying，XU Dongming，LüXuegeng
(School of Mechatronics Engineering，Harbin Instituteof Technology，150001 Harbin，China)

Abstract:To enhance the systematization and universality of solar wing panels’design theories and methods，a geometric model is proposed to describe the relationships between developable surface and panels’configuration．Using the analogy method，the straight generatrix of developable surface is regarded as revolute joint between two panels while the developable surface between straight generatrices as the panel．The unfolding principles of solar wing panels are expounded from the perspectives of geometry and mechanical configuration，the constraint equations of geometric features in the different panels’configurations are established．The concept of basic component of developable solar wing panels is elaborated and the basic components are found，which is helpful for its innovative design．The existing solar wing panels’configurations are classified and analyzed to demonstrate the relationships between developable surfaces and panels，the geometric model of a new panels’configuration is built by configuration analysis at last．

Keywords:solar wing panels; configuration; developable surface; unfolding principle; origami

通信作者:于紅英，mcadyhy@ hit．edu．cn．

作者簡介:于紅英(1968—)，女，教授，博士生導師．

收稿日期:2015－01－27．

doi:10．11918/j．issn．0367-6234．2016．01．007

中圖分類號:V423

文獻標志碼:A

文章編號:0367－6234(2016) 01－0046－07