考慮絲束變形和鋪層力學方向的鋪放線型規劃

張吉法，胡　斌，徐東亮，張小玉，李卓球

(1．武漢理工大學機電工程學院，430070武漢; 2．武漢理工大學理學院，430070武漢)

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考慮絲束變形和鋪層力學方向的鋪放線型規劃

張吉法1，胡斌1，徐東亮1，張小玉2，李卓球2

(1．武漢理工大學機電工程學院，430070武漢; 2．武漢理工大學理學院，430070武漢)

摘要:為規劃不連續預浸絲束在構件曲面上的合理排布形式，分析構件外形、預浸絲束變形和鋪層力學方向對構件曲面上鋪放路徑規劃的影響，提出一種工程實用的鋪放線型規劃方法．分別計算當前路徑點的力學方向和材料容許鋪放方向相對于測地線方向的偏角，通過偏角比例控制系數來確定多約束條件下的鋪放方向，依次求得新的路徑點，從而實現構件曲面的鋪放路徑規劃;以曲面均勻鋪滿為目標，引入重疊系數進行線型的覆蓋性分析，計算絲束增減的合理位置，完成構件曲面的鋪放線型規劃．以某自由曲面鋪放線型規劃為例，驗證了該規劃方法的有效性．

關鍵詞:預浸絲束;鋪放路徑;線型規劃;容許偏角;覆蓋性分析;邊界處理

復合材料的廣泛應用，在很大程度上取決于復合材料的成型制造技術．采用先進制造技術可以降低復合材料構件成本，保障產品質量，提高生產效率．自動鋪絲技術是在20世紀70年代提出來的，旨在克服纏繞技術周期性、穩定性和非架空的特點給復雜構件的成型帶來的不便及自動鋪帶必須沿自然路徑進行鋪放的限制．它綜合了自動鋪帶技術和纖維纏繞技術的優點，將多股預浸絲束集成一條寬度可變的預浸帶后自動按照一定線型鋪到構件表面，可實現復雜、甚至帶窗口構件的鋪放生產，在大型、超大型復合結構部件的成型制造中具有極大的優越性［1－3］．自動鋪放線型規劃過程是一個環節多、影響因素多、涉及面廣的復雜過程．尤其是復雜構件曲面，需同時考慮構件曲面幾何結構、原材料間和鋪層力學性能的耦合關系．線型反映了絲束在構件曲面上的排布形式，決定了構件的復合材料結構和性能，也是鋪絲運動規劃、自動NC編程以及軌跡仿真模擬的重要依據．最近，Fayazbakhsh和Croft等［4－5］將自動鋪放過程中出現的絲束離縫和重疊等缺陷分布作為變量，研究了其對制品力學性能的影響; Beakou等［6］研究了鋪放過程中壓緊力、預浸絲束黏性、鋪放速度和絲束回彈等對絲束局部曲皺的影響，建立了曲面上絲束不屈皺的鋪放路徑的最小彎曲半徑的數學模型; Gürdal等［7－11］提出了用變剛度方法進行復合材料層壓結構鋪層順序的優化．這些研究工作為鋪放線型規劃提供了一定的理論依據．在鋪放路徑規劃方面，Lewis等［12］首先提出了自然路徑規劃法來保證自動鋪放過程中預浸帶整體變形最小．此后，國內外學者基于此算法從精度和效率上進行了不斷的改進．胡翠玲和羅海燕等［13－14］將復雜曲面三角網格化，采用測地線構造原理求解了該曲面上自然鋪放路徑．該方法計算簡便，適用于較規則構件曲面．Shirinzadeh等［15－16］對復雜曲面上纖維鋪放路徑規劃進行了研究，解決了纖維在多個方向上實現連續排布和轉向排布的問題，并提出了能實現曲面上纖維均勻排布的鋪放路徑算法SCAR．韓振宇和邵忠喜等［17－18］為研究纖維鋪放路徑規劃和優化算法，在分析與某一參考線成固定角度規劃法和等距偏置法的基礎上，提出了纖維帶鋪放絲束數量計算方法．該規劃算法主要涉及到構件曲面特征和剛度要求，未考慮到沿規劃路徑進行鋪放時預浸料可能產生的變形對構件結構強度的影響．李俊斐等［19］及熊文磊等［20］分析了鋪放過程中預浸料產生畸變的原因及影響路徑可鋪放性的因素，提出了使路徑能夠保證預浸料良好可鋪放性的同時又滿足構件的強度分布要求的自調節路徑規劃算法．文獻［12－20］對鋪放路徑規劃做了大量的工作，但在考慮影響規劃過程的因素方面側重點有所不同．

本文從構件曲面外形、絲束變形和鋪層力學方向對鋪放路徑規劃過程的影響入手，引入絲束最小彎曲半徑、鋪放方向容許偏角控制系數和最大重疊系數，將鋪放路徑看作網格化曲面上的空間曲線，應用曲面微分幾何和空間解析幾何理論求解，提出一種復雜曲面工程實用的鋪放線型規劃方法．

1　鋪放路徑工藝性

鋪放路徑是空間曲面上的曲線．如圖1，C為曲面S上過點P的一條曲線，kn、kg、n和τ分別為曲面上曲線在P點的法曲率、測地曲率、單位法曲率向量和單位測地曲率向量，t和k分別為曲線在P點單位切向量和主法向量，s為弧長參數．根據微分幾何理論，曲面上曲線測地曲率和法曲率為

由于絲束帶很薄(0．125～0．200 mm)，kn不會對絲束的鋪放工藝性產生影響，而kg的存在會使絲束在幅寬方向產生側彎進而影響其可鋪性．對于曲面上絲束的變形，熊文磊等［20］已作詳細分析，并得到了曲面上寬度為w的絲束微元內側纖維的壓縮應變為ε=－2w/(2/kg+ w)．一定寬度絲束發生極限變形時，其變形程度可用最小側彎半徑ρmin來表示，即絲束鋪放側彎過程中，絲束中心的測地曲率半徑ρg(ρg=1/kg)必須大于ρmin，否則絲束會產生局部屈皺，將大大影響固化構件的力學性能．絲束不產生曲皺的條件為壓縮應變的絕對值|ε|≤|εmax| (εmax為鋪放材料容許壓縮應變)，令ε=εmax，則單絲束最小相對側彎半徑:．對于絲束數為n和寬度為n·w的絲束帶，當其鋪放路徑的測地曲率不為零時，絲束帶內側的曲率最大，所以只要保證內側絲束不產生屈皺就能使絲束具有良好的可鋪放性．內側絲束產生極限變形時，絲束帶的最小側彎半徑為

圖1　曲面上曲線的曲率

1．1測地線鋪放方向

復合材料結構中預浸絲束是主要承載材料，有限寬絲束只有在不發生曲皺的情況下才能承受最大載荷．曲面上kg為0的曲線是測地線，沿測地線方向鋪放時絲束不發生變形，所以測地線方向是絲束平整鋪放的理想方向．在復雜輪廓構件的曲面上難以推導出鋪放路徑的精確數學模型，因此采用近似的方法將構件曲面離散為若干三角面片．絲束的平整鋪放路徑是由網格面上若干條測地線所構成．如圖2，一條測地線可表示為網格上點的序列P1、P2、…、PV、…(下標V表示鋪放路徑上離散點的序號)，其中PV是網格的頂點或者是邊上的一個點，但大多數情況是網格棱邊上的點．在這里若不考慮點PV－1和PV是網格內點的情況，則可通過將網格棱邊上點與網格頂點統一作為網格頂點來處理．具體的做法是將棱邊上的點與此點相鄰的網格頂點相連，這樣鋪放路徑上的一系列的點都可看作為曲面網格頂點．

測地線的變化只能沿著曲面的法向方向，而不能在切平面上“左右”偏移．這樣，在點PV的微鄰域內，測地線是逼近曲面沿給定方向的法截線．因此點PV處的法向量nPV和兩個切向量PV－1PV、PVPG是共面的，則有

一般情況下，PV點處單位法向量nPV可用通過與此點相鄰的三角面片的法向量做凸組合來近似替代．將交于該頂點的所有三角網格的法向量進行重心加權平均［21］:

在這里重心權重

在已知各三角面片頂點以及點PV－1和點PV的情況下，根據上述共面條件易于求解點PG．點PG即是鋪放路徑測地方向上的點，向量PVPG的方向表示路徑在點PV處測地線的鋪放方向．

圖2　絲束當前路徑點的法曲率

1．2力學鋪放方向及偏角計算

復合材料構件的鋪層是一種可設計的材料結構，其主要承載材料為纖維，為了使材料的性能得到最大的發揮，鋪放路徑上任一點的切向量必須滿足一定的鋪層力學方向要求，而這一方向往往與測地線的鋪放方向存在一個偏離角度．如圖3，路徑上點PV處力學方向為所要計算的向量PVPVS的方向，其與已知參照向量PVPVC方向的夾角為αVC，與測地線方向PVPG的偏角為αVS．依據圖形幾何變換原理，在平面內任一單位向量P繞該平面單位向量n旋轉θ后得到新的單位向量為

其中，逆時針旋轉θ＞0，順時針θ＜0．下面來計算向量PVPVS和αVS，圖中下標I、J、K和L為網格頂點編號．

1)當〈PVPVC，PVVI〉≥αVC，式中〈〉為向量夾角求取運算符時，向量PVPVC與PVPVS同在單位法向量為nK三角面片PVVIVK內，令

由式(1)有

2)當〈PVPVC，PVVI〉＜αVC時，向量PVPVC與PVPVS不在1個三角面片內，若PVPVS在單位法向量為nI三角面片PVVIVJ內(在其它面片內計算方法一樣)，向量PVPVC投影到三角面片PVVIVJ內的向量為PVP'VC，設向量PVPVC與三角面片PVVIVJ的傾角為φPV，在三角面片PVVIVJ內從向量PVP'VC旋轉到向量PVPVS的角度為α'VC，則根據空間立體幾何理論有cos αVC=cos φPV·cos α'VC．

令則有

根據以上分析，在曲面上可以計算出絲束力學路徑在點PV處的力學鋪放方向PVPVS，其相對于測地線鋪放方向的偏角為αVS=〈PVPG，PVPVS〉．

圖3　絲束當前路徑點力學鋪放方向

1．3材料容許的鋪放方向與偏角計算

預浸絲束有一定的幅寬限制，復合材料構件不能完全按照鋪層理想的纖維方向進行鋪放，被鋪絲束會產生屈皺或撕裂．根據微分幾何理論，曲面上曲線在某點有限鄰域內的測地曲率半徑是此曲線投影到該點處的切平面上的弧長半徑，并且影響被鋪絲束變形程度的主要因素是鋪放路徑在該點處的測地曲率kg，存在這樣的rg，滿足rg≥rmin時，鋪放路徑在曲面上是可鋪的．此時的鋪放方向相對于測地線鋪放方向存在一個偏離角，如圖4，在網格曲面上鋪放路徑PV－1PV投影到點PV處的切平面上的線段PV－1TPV近似為半徑為rPV－1測地弧線段．由于網格邊長?rPV－1，在切平面上從點PV－1T到點PV的轉角為

向量PVPGT和PVPV+1T的方向分別為鋪放路徑在點PV處的測地線方向PVPG和與該方向偏角為αV的鋪放方向PVPV+1在切平面上的投影．向量PVPGT與PV－1TPV位于同一直線，且所夾α*VT的兩邊分別垂直于直線PVPGT和PVPV+1T，則有αV的投影:

向量PVPG和PVPV+1的位置可在同一個三角面片或不在三角面片內．設切平面與三角面片PVVKVI和PVVIVJ的夾角分別為γK=〈nK，nPV〉和γI=〈nI，nPV〉，與它們的交線分別為PVHK和PVHI，PGHK⊥PVHK，PGHI⊥PV+1HI，直線PVHK與PVHI可不在同一直線上，其單位方向向量分別設為lK和lI，lK=nPV×nK，lI=nPV×nI．直線PVHK與PVPGT的夾角βVT=〈lK，PVPGT〉，在切平面上將向量lK繞單位向量nPV旋轉θ=－βVT－αVT，則有

圖4　曲面上點、線在切平面上投影

1)當αVT≤∠PGTPVVIT時，向量PVPG和PVPV+1的位置在同一個三角面片PVVKVI內、上，依立體解析幾何理論有

在三角面片PVVKVI上將向量lI繞單位向量nK旋轉θ=－∠PV+1PVHI，無論網格曲面是凸曲面還是凹曲面，都有

2)當αVT＞∠PGTPVVIT時，向量PVPG和PVPV+1的位置不在同一個三角面片內，若向量PVPV+1在三角面片PVVIVJ內(在其它面片內計算方法一樣)．依立體解析幾何理論有

在三角面片PVVIVJ上將向量lI繞單位向量nI旋轉θ=－∠PV+1PVHI，則有

根據以上分析，絲束在點PV處的可行鋪放方向PVPV+1及其與測地線鋪放方向PVPG的偏角αV=〈PVPG，PVPV+1〉可以求出．同時，當rPV－1=rmin時，可得到絲束材料在點PV處的容許偏角αVmax．在實際工程中，絲束的容許鋪放方向與力學鋪放方向必在測地線鋪放方向的同側，不在同側的鋪放方向及其偏角的計算方法與在同側相同，不再贅述．

2　鋪放線型規劃

鋪放線型規劃內容包括鋪放路徑規劃和覆蓋性分析．規定曲面線型由上向下，從左向右進行規劃，沿鋪放方向用當前鋪放絲束帶的左側絲束去拼接上一相鄰線型段右側絲束，原則上要求當前絲束帶幅寬最大．以開曲面為研究對象，總體過程:在待鋪曲面上確定當前線型段的參考點，以此參考點在該曲面上向垂直于該點的力學方向右側偏移半個絲束帶寬得到路徑規劃基點，并計算出該點的力學方向;再以力學方向為目標同時兼顧絲束的可鋪性確定當前路徑及其鋪放終點，更新待鋪曲面邊界;在待鋪曲面邊界上選取下一條線型段的參考點，以此參考點按上述類似的方法從左向右遍歷整個曲面，從而得到完整鋪放線型．

2．1鋪放路徑規劃

在路徑規劃過程中同時兼顧鋪層力學方向和絲束的可鋪性的影響，通過利用絲束的有限變形，使復合材料結構中纖維承載能力得到充分發揮．

2．1．1路徑規劃方法

一般曲面上路徑規劃基點的初始方向是鋪層力學設計要求的方向，但當按照基點和初始方向生成整根鋪放路徑時，得到路徑上任意點的力學鋪放方向和測地線鋪放方向往往是不一致的．因此，在滿足構件整體結構性能的前提下，提出一種實用的路徑規劃方法．定義力學鋪放方向偏角與容許偏角的比例控制系數為

λV反映了路徑當前點處鋪層力學的設計方向超出材料容許形變的程度．規劃過程中每步依靠當前λV的值來確定當前路徑點的合理鋪放方向，再根據所規劃的鋪放方向來計算下一路徑點PV+1．如圖5．

1)當λV∈[0，1 ]，在絲束容許變形范圍內，按路徑當前點的力學鋪放方向進行鋪放，鋪放質量良好，能夠滿足構件整體結構性能要求，此時實際鋪放方向PVPV+1為力學鋪放方向PVPVS．

2)當λV∈(1，λ ] (λ為鋪放工藝性的協調參數，它表示力學鋪放方向超出材料容許形變程度的可接受值，可根據構件曲面外形、制造精度要求和絲束規格等鋪放路徑工藝設計原則綜合確定)，將實際鋪放方向PVPV+1取為材料容許的鋪放方向PVPVR．

3)當λV∈(λ，∞ )，鋪放路徑當前點的力學方向超出材料容許形變程度的可接受值，按照現有的曲面外形和絲寬以及鋪層力學方向的要求不能規劃出當前路徑點PV處合理的鋪放方向，此時，可通過綜合考慮各影響因素，采用更窄的絲束進行鋪放，或局部修改鋪層設計來微調力學鋪放方向．

圖5　力學鋪放方向偏角與材料容許偏角

鋪放路徑基點P0的方向與力學方向一致，因此在網格化曲面上，易于計算出路徑上與其相鄰點P1，當前點PV的鋪放方向及下一路徑點PV+1的計算過程如下:

1)對相交于點PV的三角面片的法向量做凸組合來計算出該點處單位法向量nPV;根據向量PV－1PV，應用測地線的法截面算法，求出路徑的測地線鋪放方向PVPG及點PG．

2)根據給定的參照向量PVPVC，應用圖形變換原理和空間解析幾何理論計算出點PV處力學鋪放方向PVPVS及該方向與PVPG的夾角αVS．

3)在點PV的切平面上，已知絲束最小側彎半徑rmin，求出從PV－1的投影點到PV的近似轉角，此角度為點PV的鋪放方向PVPVR相對于向量PVPG的容許偏角αVmax在切平面上的投影．

4)根據相交于點PV的各線段間的幾何關系，計算出PVPV+1所在的三角面片與切平面交線的單位方向向量;再根據圖形變換原理和立體解析幾何理論，求出向量PVPVR及其相對于向量PVPG的偏角αVmax．

5)計算λV的值和確定下一路徑點PV+1

①λV∈[0，1 ]，點PV的鋪放方向PVPV+1取向量PVPVS的方向，點PV+1為向量PVPVS所表示的直線與點PV鄰域內的網格邊的交點;

②λV∈(1，λ ]，點PV的鋪放方向PVPV+1取向量PVPVR的方向，點PV+1為向量PVPVR所表示的直線與點PV鄰域內的網格邊的交點;

③λV∈(λ，∞)，點PV處不能計算出合理的鋪放方向，計算結束．

6)重復步驟1)～5)，計算出點PV+1的鋪放方向及其相鄰待規劃點，直到構件邊界，或在某點處力學鋪放方向的偏角與材料容許的偏角間的比值大于λ，計算終止．連接P0、P1、…、PV、…，構成鋪放路徑．

2．1．2路徑規劃驗證

以某自由曲面鋪放路徑規劃為例進行驗證，在CATIA中將曲面模型網格化，轉化為STL文件，將其導入到VC++中進行模型重構，再對上述規劃過程進行編程．給定預浸絲束的最小側彎半徑rmin=3 000 mm，鋪放工藝性的協調參數λ=1．5，鋪層力學的設計方向為30°，基點的鋪放方向與力學方向重合．

圖6為測地線鋪放路徑、30°力學鋪放路徑和實際規劃的鋪放路徑示意圖，從圖6可以看出，開始時力學路徑與測地路徑比較接近，隨曲面上路徑點的曲率變化，二者分離，規劃所得到的路徑在這兩條路徑中間且靠近前者的一側．從仿真結果來看，達到了鋪放路徑規劃的目標，驗證了所規劃路徑的合理性．

圖6　鋪放路徑規劃算法驗證

2．2覆蓋性分析

對于復雜構件曲面，不能保證相鄰鋪絲路徑間的距離總是恒定值，若以相同的絲束數目進行鋪放就會出現絲束帶間離縫或重疊．覆蓋性分析內容包括線型規劃的初始參考點(線或面)、邊界處理和絲束增減位置計算．

2．2．1線型規劃的初始參考點

線型規劃的初始參考點位于曲面邊界上，要求沿鋪放方向的左側無待鋪區域，是線型的左極限點．如圖7，曲面邊界由曲線l0、l1、l2構成，沿順時針方向遍歷整個邊界，采用定步長δ來求得線型的初始參考點Ci(N=［s/δ］，［］為取整運算符，s為曲面邊界周長，i∈［1，N］)．點Ci處的法向量和力學方向分別為nCi和Ci S，過該點法向量為τCi的平面為FCi，其中τCi=nCi×CiS．在點Ci的領域內選取m個考查點Ci1、Ci2、…、Cim，分別判斷這些點在平面FCi的左側或右側．若所有考查點都位于該平面的右側，則認為點Ci為鋪放絲束帶的左極限點，同時將該點作為線型規劃的初始參考點．通過此方法求得的參考點可能有多個，但是求解線型的最終結果相同．

圖7　初始參考點與邊界處理

2．2．2線型規劃邊界處理

求得初始參考點Ci后，在被鋪曲面上將該點向垂直于Ci S方向右側偏移半個絲束帶寬，得到當前鋪放路徑的基點Pi．如圖7，點Pi在待鋪曲面內，計算出該點的力學方向Pi S．若按2．1節鋪放路徑規劃方法只能得到路徑PiPM(點PM為邊界上的鋪放路徑終點)．為了求得完整的鋪放路徑，還需以點Pi向Pi S的反方向來求得另一路徑P0Pi(點P0為邊界上的鋪放路徑起始點)，然后將這兩段路徑連接重構，組成一條完整的鋪放路徑．反方向求解路徑方法與上述類似，在這里不再贅述．

以點P0為起始點，以點PM為終點進行鋪放時，所得鋪放區域在點P0和PM處出現漏鋪的情況，如圖7區域A和B．為了能夠鋪滿這兩個區域，必須將該路徑向曲面外延伸．具體過程如下:以區域A鋪滿為例，求解第一個延伸點待鋪曲面上點P0的法向量為nP0，力學方向為P0 S，令τP0=P0 S×nP0，過點P0作待鋪曲面的切平面T0．曲面上點P0處的絲束帶沿其寬度方向的測地線長度可近似為在該切平面上的帶寬，因此在T0平面上將點P0沿τP0方向平移單絲寬得到點后，再將點沿nP0反方向投影到曲面上得到點可近似為點P0右相鄰絲束路徑點．再按照2．1節鋪放路徑規劃的方法，以點反方向求得邊界上的點P01，連接點P01和構成直線，將該直線沿τP0的反方向平移使得點與點P0重合，將點P01對應的點看作為鋪放路徑的外延伸點．然后求解第二個延伸點將點P01在該點的切平面T01沿τP01方向平移單絲寬得到點后，求解點的方法與點相同．重復以上步驟，將路徑不斷向外延伸，直到下列情況停止延伸: 1)延伸點右側絲束數目為最大出絲數(總出絲n為偶數時，j=n/2; n為奇數時，j=(n + 1) /2)．2)當將計算過程的點沿nP0j反方向投影時，在曲面上找不到對應點．連接點構成當前路徑的延伸線．在區域B鋪滿的條件下，鋪放路徑的延伸點的求解方法與區域A類似，只是求解過程中所涉及的方向與區域A相反．連接點組成當前鋪放路徑r0，保證了區域A和B能夠被鋪滿．更新當前鋪放路徑和待鋪區域邊界，并以點對應的鋪放右邊界上第一個點)作為規劃下一鋪放路徑r1的參考點．確定了規劃參考點后，r1的求解過程與r0類似，依次求得待鋪曲面所有其它鋪放路徑．

2．2．3增絲和減絲位置計算

覆蓋性的目的是合理地分布絲束增/減位置，減小絲束帶間離縫或重疊．在這里引用重疊系數f (絲束帶間重疊部分寬度與單絲寬的比值)，最大重疊系數定義為fmax．為了確定絲束增/減位置，對于鋪放路徑上每個點都要計算出其對應的絲束數目．

如圖8，待鋪區域邊界點C為當前鋪放路徑的參考點，求得的鋪放路徑為r，規劃起始點(基點) P、鋪放起始點P0和終點PM，同時確定路徑延伸點(n為偶數時，j，k∈［1，n/2］; n為奇數時，j，k∈［1，(n + 1) /2］)．鋪絲頭沿路徑r從點進行鋪放，可將路徑分為3段進行覆蓋性分析．(1)鋪絲頭進入待鋪曲面時，在點對應的P0j進行增絲操作;走出待鋪曲面，在點對應的PMk進行減絲操作．(2)鋪絲頭在待鋪曲面時，要計算出絲束數目來判斷絲束的增/減．

圖8　絲束增減位置計算

鋪放頭左側絲束增/減的判斷:當前路徑點PV沿垂直于該點鋪放方向左側作測地線與邊界線的交點為，計算出測地線弧長為，則左側絲束的數目為

鋪放頭右側絲束增/減的判斷:鋪絲頭右側最大出絲數與左側相等．將當前路徑點PV沿垂直于該點鋪放方向右側作測地線，如果該測地線向右延伸碰不到待鋪曲面邊界，則該測地線的長度最大長度為N'w，并計算出終點;若碰到邊界，則計算出和交點．此時點為當前路徑點PV處鋪絲頭的極右出絲點．再計算出右側絲束的數目判斷其與上一規劃點的左側絲束數目的關系．右側絲束增/減的判斷與左側相同，不再敘述．當前路徑對應的所有鋪絲頭極右出絲點依次連接而構成的曲線作為下一鋪放路徑對應的左邊界．

2．2．4線型規劃驗證

在鋪放路徑驗證的基礎上，給定單絲寬為5 mm、滿絲數目為6根和fmax=0．5，進行線型規劃算法驗證．圖9中，粗實線表示鋪放路徑，其兩側陰影區域表示絲束帶覆蓋范圍．兩相鄰路徑間顏色較深的區域為絲束重疊部分，而白色部分為絲束帶間的間隙．從圖9中可看出，該曲面的鋪放過程中絲束數目有增有減，鋪放路徑向曲面外延伸．

由于受到構建曲面外形、絲束變形能力和鋪層力學方向等因素的制約，在實際鋪放過程中就要求增/減絲束．一方面，對于絲束帶間的拼接，在合理的位置增/減絲束有助于提高鋪放效率和節約成本;另一方面，鋪放路徑向外延伸使得構件曲面邊界能夠鋪滿，減少了構件的后加工和原材料成本．根據以上分析和結合線型規劃結果，表明了這種規劃方法的有效性．

圖9　鋪放線型規劃效果

3　結　論

1)復雜曲面的鋪放路徑難以用精確的數學模型來表示，本文將曲面進行網格化處理，應用曲面微分幾何和空間解析幾何理論進行分析計算，給出了絲束變形能力和鋪層方向約束條件下，能夠均勻鋪滿整個曲面的線型規劃方法．

2)該線型規劃算法引入了絲束最小彎曲半徑、鋪放方向容許偏角控制系數和最大重疊系數，很好地考慮了預浸絲束在鋪放過程中的形變適應能力、鋪放制品的鋪層力學要求和規劃結果中絲束增減位置分布的要求．該規劃方法能充分利用絲束的有限變形，發揮纖維的承載能力，改善構件鋪放質量，提高鋪放效率和節約成本．

3)仿真結果表明，該線型規劃能協調處理力學方向和測地線方向不一致的情況，能根據重疊系數要求進行合理的絲束增減處理，為解決自動鋪放制造的實際工程應用提供了一定的理論支持．

參考文獻

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(編輯楊波)

Pattern planning for the deformation of fiber tows and mechanics direction of placement layers

ZHANG Jifa1，HU Bin1，XU Dongliang1，ZHANG Xiaoyu2，LI Zhuoqiu2
(1．School of Mechanical and Electronic Engineering，Wuhan University of Technology，430070 Wuhan，China; 2．School of Science，Wuhan University of Technology，430070 Wuhan，China)

Abstract:To plan a reasonable placement pattern，this paper analyzes the influence of component surface shape，deformation of preimpregnated fiber tows and mechanics direction of placement layers on planning placement routes on the meshed surface，and presents a practical engineering approach for pattern planning．The deflection angles between geodesic direction and mechanical direction and allowable placement direction are calculated，respectively．Then，the multi-constraint placement directions are determined by proportional control coefficient of the deflection angles，and a new route point is obtained in turn．The placement route planning is implemented on the surface．In addition，to achieve a uniform covering surface，the overlap coefficient to the coverage analysis of placement pattern is introduced and the reasonable positions of increasing or decreasing fiber tows are calculated．Thus，the placement pattern planning is completed on the component surface．A placement pattern planning on a free form surface，for example，is used to verify the validity of these methods．

Keywords:preimpregnated fiber tows; placement route; pattern planning; allowable deflection angle; coverage analysis; boundary treatment

通信作者:徐東亮，xdl556@ 163．com．

作者簡介:張吉法(1974—)男，講師;李卓球(1950—)男，教授，博士生導師．

基金項目:國家高技術研究發展計劃(863計劃) (2013AA031306)．

收稿日期:2014－09－23．

doi:10．11918/j．issn．0367-6234．2016．01．026

中圖分類號:V261; TP391

文獻標志碼:A

文章編號:0367－6234(2016) 01－0172－08