談談數學解題中的構造法

楊昌海

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）08-028-01

在科學技術日新月異的今天，社會所需要的人才是創造性人才，而不在是模仿型人才，因此在現代化的教學過程中應加強學生的創新思維、創造能力的培養。而在數學教學過程中運用構造法解題不僅可以幫助開拓學生求異思維能力，打破常規，創新情境，另辟蹊徑，而且巧妙新穎，簡捷獨到，神形兼備。因此運用構造法解題是一項重要的創造性思維活動。那么運用構造法解題為什么能夠開發學生的創造性思維呢？如何才能用好構造法解題呢？這就是本論文所要解決的問題。

例1、設⊿ABC的內切圓與外接圓半徑分別為r與R，它的最長的高為h，那么關系式r+R≤h 是否恒成立？

有圖形可知，出現r+R>h的情況是鈍角三角形。為了構造反例的方便，不妨考慮鈍角等腰三角形。設腰長為a，底角為 ，則h=asin

故對于頂角為120°的等腰三角形有r+R≤h。

構造法的解題步驟及解法

通過上面的例子我們對構造法有了一些基本的了解，用構造法解題的關鍵是對題設條件進行邏輯組合，一般化，特殊化，巧妙地對概念進行分析與綜合，構造出一種思維的創造物或想象物，構造法解題過程的模式可用下列框圖表示：

過例子從這幾個方面闡述構造法的特點極其用法。

一、構造反例

所謂構造反例就是為了說明一個命題不真，常常選擇一個符合題設條件但命題不成立的反例。這個過程叫構造反例。選擇特殊值，極端情形，常常是構造反例的關鍵。我們通過下面的例子來看看是如何來構造反例的。

例2、命題“若x，y為無理數，則x 也為無理數”是否成立？

解：不成立。構造反例如下：取無理數 。

若 為有理數，則取x=y= 為反例。

若 為無理數，則取x= ，y= 有x =（ ） = =2，仍為反例。

評注：這里用了二難推理，到底 是有理數還是無理數，并未正面回答，但無論那種情況都提供反例。

二、構造幾何圖形

在解題時若以數形結合的思想作指導，對于某些復雜的命題，通過構造圖形啟發思維，借助于圖形的直觀來解題往往使解題方法簡捷。幾何證題中的輔助線，代數方程中的是示意圖都屬于這一類。

例3、求證：

分析：視k*k 為k個邊長為k的正方形面積之和，構造如下的幾何模型：

上圖中所有正方形的面積之和

，⊿ABC的面積

顯然 ，所以等式成立。

三、構造數學關系

例4、設a，b都是實數，求證： .

分析：求證結論是二元二次對等不等式，可以以a（或b）為主元構造二次函數，在利用二次函數的性質解決問題。

證明：設 .

因二次項系數大于零，且

= 故 ，

即 .

本題構造一個二次函數在利用根的判別式很好的解決了問題.