基于Hilbert空間有界線性算子方程等價性的研究

范大付

(百色學院 教務處, 廣西 百色 533000)

?

基于Hilbert空間有界線性算子方程等價性的研究

范大付

(百色學院 教務處, 廣西 百色 533000)

摘要:有界線性算子方程解的性質在計算中是十分必要的.在Hilbert空間上,研究有界線性算子解的等價性.將該系統變得更加簡單更加便于求解.通過算子的分塊技術,將算子分成等價形式,且利用Moore-Penrose 逆來表示,最終給出了線性算子方程的一些簡單等價形式.

關鍵詞:Hilbert空間; 算子方程; Moore-Penrose逆

設H、K為Hilbert空間,且H(H,K)表示所有由H到K的有界線性算子的集合.當H=K時,H(H)=H(H,K).對于有界線性算子A∈H(H,K),R(A)和N(A)分別表示A的值域和零空間.設A*表示算子A的共軛轉置.設I和0分別表示單位算子和零算子.對于有界線性算子A∈H(H,K)且R(A)是閉的,存在唯一有界線性算子X∈H(K,H)滿足:

AXA=A,XAX=X,

則X稱為A的Moore-Penrose逆,表示為X=A?(見文獻[1]).

近年來,Hilbert空間上的算子方程的研究已經被國內外許多研究學者關注和研究.文獻[2-6]研究了有限維下著名的Sylvester方程AX-AX=0的解.文獻[7-8]研究了更一般的Sylvester方程.文獻[9]研究了方程AX+AXT=0的解以及在軌跡理論上的應用.文獻[10-11]將矩陣方程ATX+XTA=B推廣到無限維空間H(H此時表示希爾伯特空間)上的算子方程A*X+X*A=B,且討論了當算子A的值域是閉時給出了方程有解的充要條件.文獻[12]研究了算子方程(A*)nX+X*An=B的解.文獻[13]研究了混合的Sylvester方程的可解性條件和廣義解.文獻[14]研究了耦合的廣義Sylvester矩陣方程.文獻[15-18]研究了在Hilbert C*-模上自伴算子方程的解.

本文研究Hilbert空間上有界線性算子方程等價性.利用算子的分塊技術和Moore-Penrose逆,給出算子方程的齊次的等價形式,這樣使得算子方程更簡單且更適合求解.給出下面2類方程的等價形式:

(i) 設A∈H(H,K)和C,X,Y∈H(K,H).若CAA?=A?AC,B=B*,給出

(1)

的等價形式.

(ii) 設A,C∈H(H,K)和R(A)是閉的,且X,Y∈H(K).若CAA?=A?AC和B=B*,給出

(2)

的等價形式.

引理 1[1]若A∈H(H,K)且R(A)是閉的,則A表示為

(3)

其中A1是可逆的,進一步,A?存在,且可表示為

(4)

1主要結論

基于Hilbert空間研究有界線性算子方程等價形式.主要推導了方程(1)和(2)的特殊的等價形式,以便得到更適合實際應用的形式.

(5)

由(5)式,則

(6)

2) 設F:(X,Y)|→(UXU-1,VYV-1).由于U、V非奇異,則F是滿射的且單射的.顯然,F為(X,Y)和(UXU-1,VYV-1)間的一個同構映射.

推論 1若定理1中H=K和U=V,則:

定理 2設A∈H(H,K)和C,X,Y∈H(K,H)滿足方程(1).設R(A)是閉的,且CAA?=A?AC,B=B*.若存在Q∈H(K,K)使得Y=XQ,則方程(1)的解等價于

(7)

證明設空間H、K的分塊分別為:

(8)

因為R(A)閉的和由引理1,則

(9)

由引理1,則A是Moore-Penrose可逆的且

由(9)式且CAA?=A?AC,則C、B的分塊為:

(10)

同理,將X、Y分別表示為:

(11)

將(9)～(11)式代入方程(1),則

(12)

同時

(13)

由B=B*,以及(12)和(13)式,則

(14)

和

(15)

由(14)和(15)式,所以

(16)

若存在

使得

則(16)式可寫為

進一步有

(17)

由(17)式得

定理 3設A∈H(H,K)和C,X,Y∈H(K,H)滿足方程(1)和R(A)是閉的,且CAA?=A?AC,B=-B*.若存在Q∈H(K,K)使得Y=XQ,則方程(1)的解等價于

證明由B=-B*,以及(12)和(13)式,則

(18)

和

(19)

由(18)和(19)式,則

(20)

則(20)式等價于

進一步有

(21)

由(21)式得

定理 4設A,C∈H(H,K)和X,Y∈H(K)滿足(2)式,若R(A)是閉的且CAA?=A?AC和B=B*,則(2)式等價于

其中

證明因為R(A)是閉的和引理1,則A?存在且有分塊為

(22)

由CA?A=AA?C,則

(23)

同理有

(24)

將(22)～(24)式代入方程(2),則

(25)

因此

(26)

由(25)和(26)式,則

和

進一步,分別得

其中

由B=B*,則

因此有

和

其中

定理 5若定理4中B=-B*,則方程(2)的解等價于

其中

2例

下面給出定理2的一個數值算例.

例 1設方程(1)中

和

則方程(1)有解:

另外,設

和

可驗證:Y=XQ且‖XM-M*X*‖∞=0.001 7.反之,可驗證‖XA+CA-B‖∞=0.005 5.因此,可知(X,Y)滿足方程(1)當且僅當X滿足方程(7).

參考文獻

[2] REHMAN A, WANG Q W, HE Z H. Solution to a system of real quaternion matrix equations encompassingη-Hermicity[J]. Appl Math Comput,2015,265:945-957.

[3] FERNANDO D T. The solution of the equation AX+BX*=0[J]. Linear Multilinear Algebra,2013,61(12):1605-1628.

[4] FERNANDO D T, DOPICO F M, GUILLERY N, et al. The solution of the equation AX+X*B=0[J]. Linear Algebra Appl,2013,438(7):2817-2860.

[5] GARCIA S R, SHOEMAKER L. On the matrix equation XA+AXT=0[J]. Linear Algebra Appl,2013,438(6):2740-2746.

[6] CHAN A, GERMAN L, GARCIA A, et al. On the matrix equation XA+AXT=0(II):type 0-iinteractions[J]. Linear Algebra Appl,2013,439(12):3934-3944.

[7] HUANG L J, WANG Q W, ZHANG Y. The Moore-Penrose inverses of matrices over quaternion polynomial rings[J]. Linear Algebra Appl,2015,475:45-61.

[8] ZHOU B, LAN J, DUAN G R. Toward solution of matrix equation X=Af(X)B+C[J]. Linear Algebra Appl,2011,435(6):1370-1398.

[9] FERNANDO D T, DOPICO F M. The solution of the equation XA+AXT=0 and its application to the theory of orbits[J]. Linear Algebra Appl,2011,434(1):44-67.

[10] DRAGAN S D. Explicit solution of the operator equation A*X+X*A=B[J]. J Comput Appl Math,2007,200(2):701-704.

[11] DRAGANA S C. The solutions of some operator equations[J]. J Korean Math Soc,2008,45(5):1417-1425.

[12] TIAN X G, WANG S Y. Positive and real-positive solutions of the operator equation AX-XA*=B[J]. Pure Appl Math,2010,26(6):1047-1052.

[13] WANG Q W, HE Z H. Solvability conditions and general solution for mixed Sylvester equations[J]. Automatica J IFAC,2013,49(9):2713-2719.

[14] WANG Q W, HE Z H. Systems of coupled generalized Sylvester matrix equations[J]. Automatica J IFAC,2014,50(11):2840-2844.

[15] DONG C Z, WANG Q W, ZHANG Y P. The common positive solution to adjointable operator equations with an application[J]. J Math Anal Appl,2012,396(2):670-679.

[16] SONG G J. Common solutions to some operator equations over HilbertC*-modulesandapplications[J].LinearMultilinearAlgebra,2014,62(7):895-912.

[17]SONGGJ,WANGQW.PositiveandrepositivesolutionstosomesystemsofadjointableoperatorequationsoverHilbertC*-modules[J].ElectronJLinearAlgebra,2011,22:1070-1084.

[18]WANGQW,DONGCZ.ThegeneralsolutiontoasystemofadjointableoperatorequationsoverHilbertC*-modules[J].OperMatrices,2011,5(2):333-350.

[19] 范大付.Banach空間上算子方程的解[J]. 山東大學學報(理學版),2013,48(2):105-110.

2010 MSC:15A09; 47L30

(編輯余毅)

Research on Equivalence of the Solutions for the Operators Equation over Hilbert Space

FAN Dafu

(Dean’sOffice,BaiseCollege,Baise533000,Guangxi)

Abstract:The properties of boundary linear operator equations are very necessary in scientific computation of the linear systems. Based on Hilbert space, we consider the equivalence of the solutions for the linear bounded operator systems. The systems are written into a simple and equivalent systems. The main advantage is that the systems can be solved easily. By introducing the block technology of operator, the operator can be written into an equivalent form. Finally, we present some simple equivalent expression form of the linear bounded operator systems by using Moore-Penrose inverse.

Key words:Hilbert Space; the operator equation; the Moore-Penrose inverse

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.021

中圖分類號:O151

文獻標志碼:A

文章編號:1001-8395(2016)01-0117-06

作者簡介:范大付(1974—),男,講師,主要從事基礎數學、概率與統計的研究,E-mail:459990654@qq.com

基金項目:廣西高校科學技術研究項目(2013LX146)、廣西自然科學基金(2014GXNSFAA118030)和廣西高等教育本科教學改革工程項目(2015JGZ160、2015JGB376)

收稿日期:2015-06-01