單群L2(8)的一個特征性質

郭繼東,　任永才,　張志讓

(　　　1. 伊犁師范學院 數學與統計學院, 新疆 伊寧 835000;　2. 四川大學 數學學院, 四川 成都 610064;

3. 成都信息工程學院 數學學院, 四川 成都 610225)

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單群L2(8)的一個特征性質

郭繼東1,任永才2,張志讓3

(1. 伊犁師范學院 數學與統計學院, 新疆 伊寧 835000;2. 四川大學 數學學院, 四川 成都 610064;

3. 成都信息工程學院 數學學院, 四川 成都 610225)

摘要：展示單群L2(8)的一個特征性質,證明定理:如果有限群G的同階的元素的個數組成的集合是{1,63,56,216,168},則G?L2(8).

關鍵詞：有限群; 單群; 元素的階; 同階元的個數

記Md(G):={g∈G|gd=1}.稱有限群G1和G2是同階型的,如果|Md(G1)|=|Md(G2)|,d=1,2,….1987年，J. G. Thompson在給施武杰的一封信中提出了下述問題[1]:

Thompson問題設G1和G2是同階型的.如果G1是可解的,G2是否可解?

Thompson問題自1990年公開以來一直沒有得到解決.

對于有限群G,用SOENS(G)表示G中的同階的元素的個數組成的集合.例如,SOENS(L2(8))={1,63,56,216,168}.對于有限群G1和G2,如果G1和G2是同階型的,則顯然有|G1|=|G2|且SOENS(G1)=SOENS(G2).于是,產生了Thompson問題的一個變種,在這里姑且稱為Thompson猜想:

Thompson猜想設M是個有限非Abel單群,G是個有限群.如果

則G?M.

關于上述Thompson猜想以及別的類似的Thompson猜想的研究,例如見文獻[2-3].這里感興趣的是,Thompson猜想中的“|G|=|M|”這一條件是否可以去掉?對某些單群回答是肯定的.例如,令M=L2(8),則|G|=|M|這一條件可以去掉.本文目的就是證實這一斷言,即證明下述定理:設G是個有限群.如果SOENS(G)={1,63,56,216,168},即如果SOENS(G)=SOENS(L2(8)),則G?L2(8).

注SOENS(G)={n1,…,nt}一般說來不意味著|G|=n1+…+nt.

本文中的群都是指有限群.字母G總是代表一個群.π(G)是|G|的的全體素因子組成的集合.對于p∈π(G),用Sylp(G)表示G的全體Sylowp-子群組成的集合,用Gp代表G的一個Sylowp-子群.用πe(G)表示G的元素的階組成的集合.用nm表示G中的m階元的個數.此外,對符號|作一說明:|G||100表示|G|除盡100.文中其它未說明的符號都是標準的,例如見文獻[4-5].

1預備引理

從若干引理開始.下述引理1引自文獻[6].

此外,如果m>2,則φ(m)是偶數(φ是Euler Phi-函數).(在后面的論證中將不指明地使用引理1.)

下述引理2(i)是眾所周知的,由引理1和引理2(i)得到引理2(ii)和引理2(iii).

引理 2對于群G,下述3個命題成立:

(i)nm=kφ(m),其中k是G的m階循環子群的個數(m階循環群中的m階元(即生成元)的個數是φ(m));

(ii) 如果m>2,則nm是偶數;

(iii) 若nm是奇數,則m=2,G是偶數階群.

下述引理3是一個初等結果[7].

引理 3對于群G,下述兩個命題成立:

(i) 設m是|G|的因子,則m||{g∈G|gm=1}|.

(ii) 如果p是|G|的一個素因子,則p|(1+np).

下述引理4也是一個初等結果(見文獻[7]).

引理 4設P是個pn階初等Abel群,p是素數.那么,|Aut(P)|=pn-1(p-1)…(pn-1).

下述引理5是文獻[8]中的定理9.3.1的(4)式的特殊情形.

說G是一個單K3-群,如果G是一個單群且|π(G)|=3.

引理 6[9]設M是一個單K3-群.那么M與下述群之一同構A5、A6、L2(7)、L2(8)、L2(17)、L3(3)、U3(3)和U4(2).

表 1

定義 1設SOENS(G)={m1=1,m2,…,mt}.令

下述引理7是引理3(ii)的直接推論.

引理 7π(G)?π(SOENS(G)+1).

2主要結果

現在著手證明本文的主要結果,即證明下述定理1.注意,SOENS(L2(8))={1,63,56,216,168}.

定理 1如果SOENS(G)={1,63,56,216,168},則G?L2(8).

證明為便于對照察看,在下面列出2個表格.第1個表格(表2)的第1行中的數是SOENS(G)中的數,而第2行中的各個乘積是它正上方的數的素因子分解式.第2個表格(表3)的第1行中的數是SOENS(G)+1中的數,而第2行中的各個乘積是它正上方的數的素因子分解式.

表 2　SOENS(G)

表 3　SOENS(G)+1

由表3得到

下面分若干步驟完成定理的證明.

(I) |G|≥504(顯然).

(II) 下述事實成立:(a) 2∈π(G)且n2=63;(b) 如果3∈π(G),則n3=56;(c) 如果7∈π(G),則n7=216.

證明根據引理2知(a)成立.根據引理3和表3知(b)和(c)成立.

(III) 下述事實成立:(a) 13?π(G);(b) 19?π(G);(c) 31?π(G).

(IV)π(G)?{2,3,7}.

證明根據引理7和前面關于π(SOENS(G)+1)的等式及(II)和(III)得到π(G)?{2,3,7}.

(V) (根據(II)(a)可)寫|G|=2n·r,其中n和r是正整數且(2,r)=1.那么,n≤6.

證明由于φ(25)=24,根據引理2和表2有25?πe(G).

如果2t∈πe(G),其中t=2,3,4,則由于φ(2t)=2t-1,根據引理2和表2得到n2t∈{56,216,168}(t=2,3,4).

總上述,得到n≤6.

(VI) 設|G|=3m·r,其中m和r是正整數且(3,r)=1.那么,m≤2,并且,如果m=2,則

證明由于φ(35)=2·34,根據引理2(i)并察看表2可知n35?πe(G).同時,由于φ(3t)=2·3t-1,從表2還看到:如果3t∈πe(G))(t=2,3,4),則n3t∈{216,168}.

假設m=2.那么,由上一段知道32∈πe(G).于是,G的Sylow 3-子群是32階循環群.從而,由于n32=168及φ(32)=2·3,根據引理2得到

所以,根據(II)(a)和(IV)得到π(G)={2,3,7}.

(VII) 設|G|=7f·r,其中f和r是正整數且(7,r)=1.那么,f=1(即|G7|=7),|Syl7(G)|=36=22·32,|G|=2n·32·7.此外,G沒有14階元.

(VIII)G不是2-群.

證明如果G是2-群,則根據(V)有|G|≤26=64,與(I)矛盾.

(IX)π(G)≠{2,3}.

證明假設π(G)={2,3}.那么,|G|=2n·3m.根據(V)和(VI)有n≤6,m≤2.于是,根據(I)有|G|=26·32,從而根據(VI)得π(G)={2,3,7},矛盾.

(X)G?L2(8).

由(II)(a)、(IV)、(VIII)、(X)和(VII)可知:|G|=2n·32·7,n≤6,|Syl7(G)|=22·32.于是,有|NG(G7)|=2n-2·7.

由于|G|=2n·32·7及|Syl7(G)|=22·32,根據引理5知G是非可解的.令K是G的極大可解正規子群.那么,G/K是非可解的.令N/K是G/K的一個極小正規子群.那么,N/K是若干個同構的非Abel的單群的直積(見文獻[10]).于是,N/K顯然是個單K3-群,從而根據引理6和表1知:要么N/K?L2(7),要么N/K?L2(8).

2) 設N/K?L2(8).這時,有L2(8)?N/K≤G/K≤Aut(N/K)=Aut(L2(8)).從而,根據文獻[11]知道:G/K?L2(8)或G/K?PΓL2(8).于是,由于33||PΓL2(8)|而33除不盡||G|,有G/K?L2(8).從而,|K|=2n-3.

假設n>3.由于n≤6見(V))且G沒有14階元(見(VII)),根據引理4和階≤23的群的結構斷定K是8階初等Abel 2-群.于是,由于G/K?L2(8)是單群且G沒有14階元,根據引理4知道:23·32·7|22·3·7,矛盾.所以,n=3,|K|=1,G=N?L2(8).證畢.

參考文獻

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2010 MSC：20D15; 20C15

(編輯周俊)

A Characterization of the Simple GroupL2(8)

GUO Jidong1,REN Yongcai2,ZHANG Zhirang3

(1.CollegeofMathematicsandStatistics,YiliNormalCollege,Yining835000,Xinjiang;2.SchoolofMathematics,SichuanUniversity,Chengdu610064,Sichuan;3.SchoolofMathematics,ChengduUniversityofInformationTechnology,Chengdu610225,Sichuan)

Abstract：In this paper, a characterization of the simple group L2(8) is given as follows: Let G be a finite group. If the set of the numbers of the same order elements in G is {1,63,56,216,168}, then G?L2(8).

Key words：finite group; simple group; the number of the same order elements

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.019

中圖分類號：O152

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0107-04

作者簡介：郭繼東(1965—),男,教授,主要從事群論研究,E-mail:guojd662@163.com

基金項目：新疆維吾爾自治區普通高等學校重點學科基金(2012ZDXK12)

收稿日期:2014-09-27