具有強迫項的有限時滯Lienard方程周期解的存在性

黃　勇,　黃燕革

(百色學院 數學與計算機信息工程系, 廣西 百色 533000)

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具有強迫項的有限時滯Lienard方程周期解的存在性

黃勇,黃燕革

(百色學院 數學與計算機信息工程系, 廣西 百色 533000)

摘要:利用Mawhin延拓定理證明，構造新算子，使用新技巧,研究了一類具有強迫項和有限時滯的二階Lienard方程

的周期解問題,得到了方程至少存在一個周期解的充分條件,獲得了新的結論.

關鍵詞:強迫項; 時滯; Lienard方程; 周期解; Mawhin延拓定理

關于具有有限時滯Lienard方程

(1)

和關于具有強迫項的Lienard方程

(2)

的周期解的存在性的研究已有許多(參見文獻[1-22]及其參考文獻).據我們所知,研究同時具有強迫項和有限時滯的Lienard方程周期解的存在性還不多見.

本文研究如下一類同時具有強迫項和有限時滯Lienard方程

(3)

的周期解的存在性問題,其中,f1(x)、f2(x)和g(x)是定義在R=(-∞,+∞)上的連續實函數,常數τ≥0,e(t)是周期為T的連續函數,即對于常數T>0,e(t+T)=e(t).利用Mawhin延拓定理給出方程(3)存在周期解的一些充分條件.

1假設與引理

為研究方便,把方程(3)轉化為以下等價方程組

(4)

其中

常數τ≥0.

這樣,研究方程(3)就轉化為研究方程(4).為利用Mawhin延拓定理[23],考慮Banach空間Z中的算子方程

(Eλ)

其中,L:domL∩Z→Z是一個線性算子,N:Z→Z是一個連續的算子和λ∈[0,1]是一個參數.

相應于方程(Eλ)有

因此,關于方程組(4)的周期解的存在性問題被轉化為當λ=1時,方程組(5)在Z中的周期解的存在性問題.

如果

dim KerL=codim ImL<+∞,

并且ImL在Z中閉,則算子L稱為指標為零的Fredholm算子[24].

如果L為指標為零的Fredholm算子,則存在連續投影算子P、Q分別為:

P:Z∩domL→KerL,

Q:Z→Z/ImL,

且有

ImP=KerL,KerQ=ImL.

因此有

L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

是一個一一映射且具有連續廣義逆kp及

J:Z/ImL→KerL

是一個同構.

1)LX≠λNX,?X∈?Ω∩domL,λ∈(0,1),

2)QNX≠0,?X∈?Ω∩KerL,

3) deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

則

為了討論方程(4)的周期解存在性問題,記

并在Z中定義范數

其中

易證,在此范數下Z為Banach空間.定義

易證

dim KerL=codim ImL=2

且ImL為Z的閉子空間,故知L為指標為零的Fredholm算子.

2主要結果

定理假設f1(x)、f2(x)和g(x)是定義在R=(-∞,+∞)上的連續實函數,e(t)是周期為T的連續函數,并且以下條件成立:

(A1)f2(x)在R上有界,存在常數b>0,使

(A3)f1(x)>0,且

則方程組(4)至少存在一個周期為T的周期解.

證明第1步:證明當λ∈(0,1)時,對于方程(5)的任意一個T周期解

一定存在正數M>0,使得對所有的t∈[0,T]有

先證明第一個分量x(t)≤M1,常數M1>0.由(5)式的第2個方程積分得

(6)

由假設條件(A1)和(A2)可以確定必存在t0∈[0,T],使得

(7)

現記

以下證明存在M1>0,使x(t*)

事實上,如果x(t*)≤d,取M1>d,結論顯然成立.若x(t*)>d,結合(7)式知存在包含t*的區間[α,β],這里α=α(x,λ),β=β(x,λ),且β-α

(8)

(9)

(10)

這樣由(5)式的第一個方程及(9)式得

(11)

從而存在ξ∈[α,β],使

(12)

現記|u|q表示Lq([α,β],R)中的范數,其中1≤q<+∞,即

可得

(13)

將方程(5)的第1個方程寫為

得到

(14)

另一方面有

(15)

代入(15)式得到

其中,k為滿足00與x、λ無關.

將(14)同(15)及(16)式相比較,分別得到

和

由條件(A3)知道,無論上述哪種情況,均存在常數c2>0,使得

從而

(19)

令

則c3是獨立于x,λ的常數,讓M1≥c3,這樣已經證明了存在常數M1≥0,使

從而第1個分量

下面證明,在上述前提下,第2個分量y(t)≤M2,常數M2>0,且存在常數M>0,使

事實上,由條件(A1)、(A2),可以得到

其中-d≤x≤M1.由于

為一個常數,令

則

因此由(5)式的第2個方程有

則由(12)式和x(t*)的做法,容易得到

(21)

即證明了存在正數M2>0,M2=c1+2c4,使第2個分量

用x′(t)乘以(5)式的第1個方程,并在[0,T]上積分得

即

故

(22)

因此,由(7)和(22)式得

(23)

均有‖X(t)‖≤M.

第2步:為利用引理1,記

L:domL∩Z→Z是一個線性算子,N:Z→Z是一個連續的算子,則L為指標為零的Fredholm算子,在前面范數規定下Z為Banach空間.定義連續投影算子P、Q為

則有

ImP=KerL,KerQ=ImL,

且

L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

是一個一一映射且具有連續廣義逆kp及Z/ImL→KerL是一個同構,記為J.kp由下式給出

根據以上證明,顯然Ω滿足引理1中的條件1)的要求.

現在設

則X是一個在R2中的常矢且‖X‖=M.如果|x|>d,由條件(A2)、(19)和(22)式獲得

如果|x|≤d,由

有

得到

因此,無論哪種情況都有

(24)

這樣,引理1中的條件2)滿足.

現定義連續算子B:Ω→Ω,BX=(y,-x)T,根據Ω定義,Ω關于原點對稱,且當X=(x,y)T∈?Ω∩KerL時,

由引理2有

deg{B,Ω∩KerL,0}≠0.

作一個函數

φ(X,u)=uBX+(1-u)QNX=

引理1中的條件3)滿足.

這樣,Ω滿足引理1的全部條件.故由引理1,算子方程LX=NX在Banach空間Z至少有一個解.這樣我們已經證明方程組(4)至少存在一個T周期解.定理證畢.

3應用舉例

考慮方程

(25)

因為

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2010 MSC:34C25

(編輯余毅)

The Existence of Periodic Solutions for a Class of Forced and Finite Delayed Lienard Equations

HUANG Yong,HUANG Yan’ge

(DepartmentofMathematicsandComputerInformationTechnology,BaiseCollege,Baise533000,Guangxi)

Abstract:In this paper, a new operator is constructed by using the Mawhin’s continuity theorem. The periodic solutions to a class of forced and finite delayed second-order Lienard equations of the form x″(t)+f1(x)x′(t)+f2(x)(x′(t))2+g(x(t-τ))=e(t) are studied. Some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are given.

Key words:forced; delayed; Lienard equations; periodic solution; Mawhin’s continuity theorem

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.020

中圖分類號:O157.6

文獻標志碼:A

文章編號:1001-8395(2016)01-0111-06

作者簡介:黃勇(1961—),男,教授,主要從事微分方程的研究,E-mail:huangyong861@sohu.com

基金項目:廣西自然科學基金(2013GXNSFAA019022)和廣西高校科研項目基金(2013YB243)

收稿日期:2015-05-12