一類奇異Kirchhoff型問題正解的存在性

廖家鋒,　陳　明,　張　鵬

(遵義師范學院 數學與計算科學學院, 貴州 遵義 563002)

?

一類奇異Kirchhoff型問題正解的存在性

廖家鋒,陳明,張鵬

(遵義師范學院 數學與計算科學學院, 貴州 遵義 563002)

摘要：Kirchhoff型問題通常被看作非局部問題,起源于非線性振動理論.研究一類奇異Kirchhoff型問題,利用變分方法,獲得該問題正解的存在性.該結果豐富奇異Kirchhoff型問題正解的存在性理論.

關鍵詞：Kirchhoff型問題; 奇異; 正解; 變分方法

考慮如下奇異Kirchhoff型問題

(1)

當a=1,b=0時,問題(1)退化到經典的奇異橢圓方程.這類問題正解的存在性以及多重性已有許多結果(如文獻[1-9]).而關于奇異Kirchhoff型問題正解的存在性的結果相對就較少了(如文獻[10-13]).文獻[12]中研究了當λ=0,γ>1時問題(1)的正解存在性的充要條件.當30充分小時,文獻[12]利用Nehari流形的方法獲得了問題(1)的2個正解的存在性;當p=5以及λ>0充分小時,在文獻[11]中利用變分方法也獲得了問題(1)的2個正解.而最近在文獻[13]中也研究了當p=3以及λ>0取不同范圍時分別獲得了問題(1)的正解的存在性、多解性以及唯一性.本文將研究當0

定義Iλ為問題(1)對應的能量泛函,即

(2)

1主要結果

注記 1當a=0,b>0,問題(1)被稱為退化的奇異Kirchhoff型方程.而當a=1,b=0時問題(1)退化到奇異橢圓方程,當00,文獻[8]獲得了該問題正解的存在性;當p=1時,對任何的0<λ<λ1,文獻[9]獲得了問題正解的唯一性,其中λ1為帶Dirichlet邊值的-Δ算子的第一個特征值;當10充分小時,文獻[2]獲得了問題的2個正解.

定理1的證明分以下2步來證明定理1.

由H?lder不等式和Sobolev不等式,有如下不等式成立

(3)

(4)

這里C1,C2>0為常數.從而根據(3)和(4)式有

(5)

(7)

從而可得

(8)

這里o(1)是n→∞時的無窮小量.再結合(5)～(8)式可得

第2步證明u*是問題(1)的正解.事實上,根據第1步中Iλ(u*)=m<0,有u*?0.

由中值定理可得

其中當θ→0+,η→0+時,對幾乎所有的x∈Ω有

對所有的x∈Ω有(u*+θtφ)-γφ≥0,從而由Fatou引理可得

(10)

根據Lebesgue控制收斂定理可得

(11)

(12)

因此,有∫Ω(u*,φ)dx≥0,從而根據強極大值原理可得u*>0在Ω幾乎處處成立.

(13)

參考文獻

[1] GUI C F, LIN F H. Regularity of an elliptic problem with a singular nonlinearity[J]. Proc R Soc Edinb,1993,A123:1021-1029.

[2] SUN Y J, WU S P, LONG Y M. Combined effects of singular and superlinear non-linearities in some singular boundary value problems[J]. J Diff Eqns,2001,176:511-531.

[3] SUN Y J, WU S P. An exact estimate result for a class of singular equations with critical exponents[J]. J Funct Anal,2011,260:1257-1284.

[4] BOCCARDO L. A Dirichlet problem with singular and supercritical nonlinearities[J]. Nonlinear Anal,2012,75:4436-4440.

[5] DAVID A, BOCCARDO L. Multiplicity of solutions for a Dirichlet problem with a singular and a supercritical nonlinearities[J]. Diff Integ Eqns,2013,26:119-128.

[6] DAVID A, LOURDES M M. Multiplicity of solutions for a Dirichlet problem with a strongly singular nonlinearity[J]. Nonlinear Anal,2014,95:281-291.

[7] 廖家鋒,馬淑云. 一類奇異半線性橢圓問題的注記[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2012,35(3):335-339.

[8] 廖家鋒,張鵬. 一類奇異次線性橢圓問題基態解的存在性[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2015,38(6):867-870.

[9] 廖家鋒,張鵬. 一類奇異橢圓方程的共振問題[J]. 數學雜志(已接受).

[10] LIU X, SUN Y J. Multiple positive solutions for Kirchhoff type problems with singularity[J]. Commun Pure Appl Anal,2013,12(2):721-733.

[11] LEI C Y, LIAO J F, TANG C L. Multiple positive solutions for Kirchhoff type of problems with singularity and critical exponents[J]. J Math Anal Appl,2015,421:521-538.

[12] 曹小強,孫義靜. 一類奇異非線性Kirchhoff型問題的正解[J]. 中國科學院大學學報,2014,31(1):5-9.

[13] LIAO J F, ZHANG P, LIU J, et al. Existence and multiplicity of positive solutions for a class of Kirchhoff type problems with singularity[J]. J Math Anal Appl,2015,430:1124-1148.

[14] RUDIN W. Real and Complex Analysis[M]. New York:McGraw-Hill,1966.

[15] WILLEM M. Minimax Theorems[M]. Boston:Birkhauser,1996.

2010 MSC：35B09

(編輯周俊)

Existence of Positive Solutions for a Class of Singular Kirchhoff Type Problem

LIAO Jiafeng,CHEN Ming,ZHANG Peng

(SchoolofMathematicsandComputationalScience,ZunyiNormalCollege,Zunyi563002,Guizhou)

Abstract：Kirchhoff type problems are often considered to as nonlocal and originate in the theory of nonlinear vibrations. A class of singular Kirchhoff type problems is discussed. By the variational methods, the existence of positive solutions is obtained. This result enriches the theory of positive solutions for Kirchhoff type problems.

Key words：Kirchhoff type problem; singularity; positive solution; variational method

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.018

中圖分類號：O177.91

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0103-04

作者簡介：廖家鋒(1983—),男,副教授,主要從事非線性分析方面的研究,E-mail:liaojiafeng@163.com

基金項目：貴州省科學技術科學基金(LKZS[2012]11、LKZS[2012]12和LKZS[2014]22)

收稿日期:2015-02-17