FI代數的模糊軟濾子

劉春輝

(赤峰學院 數學與統計學院, 內蒙古 赤峰 024001)

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FI代數的模糊軟濾子

劉春輝

(赤峰學院 數學與統計學院, 內蒙古 赤峰 024001)

摘要：將模糊軟集概念及其相關運算應用于FI代數的濾子理論研究,引入FI代數的模糊軟濾子概念, 給出它的若干代數性質,定義FI代數間的模糊軟FI-同態(同構)概念,并證明FI代數的一個模糊軟濾子在模糊軟FI-同構(同態)下的像(原像)仍為模糊軟濾子.

關鍵詞：FI代數; 模糊軟集; 模糊軟濾子; 模糊軟FI-同態(同構)

1預備知識

非經典數理邏輯理論[1]的一個重要研究分支是對邏輯代數系統的研究.Fuzzy蘊涵代數(簡稱:FI代數)是由我國學者吳望名于1990年提出的,它揭示了蘊涵算子的共同本質,是蘊涵連接詞的代數化[2].大部分著名的邏輯代數系統(如BL代數、MV代數、MTL代數、R0代數、格蘊涵代數等)都可以看成是FI代數的自然擴張,因此對FI代數性質的研究具有廣泛而基本的重要意義.迄今為止,這方面已獲得很多有價值的研究成果[3-5].D. Molodtsov在文獻[6]中提出了軟集的概念,試圖從參數化的角度為不確定性問題的研究提供一個統一的數學框架.作為一種新的處理不確定性問題的數學工具,軟集理論與模糊集理論和粗糙集理論等具有很強的互補性,理論和應用研究受到了學術界的廣泛關注[7-12].將模糊集[13]與軟集相結合,P. K. Maji等在文獻[14]中提出了模糊軟集的概念并給出其若干運算性質.文獻[15-16]將模糊軟集的概念與群和環等抽象代數結構相結合,提出了模糊軟群和模糊軟環等概念并討論了它們的性質.文獻[17-18]又將模糊軟集概念與BCK/BCI代數和d-代數相結合提出并研究了模糊軟BCK/BCI代數、模糊軟d-代數及其模糊軟理想的性質特征.這些研究工作一方面很好地促進了模糊軟集與代數結構的相互融合,另一方面也豐富和完善了模糊軟集理論的研究內容.

在上述研究工作的基礎上,本文將模糊軟集的概念與FI代數的模糊濾子概念相結合,提出了FI代數的模糊軟濾子概念并討論其性質,獲得了一些有意義的結果.

定義 1.1[2]稱(2,0)型代數(X,→,0)為Fuzzy蘊涵代數,簡稱X為FI代數,若?x,y,z∈X滿足:

(ⅰ)x→(y→z)=y→(x→z);

(ⅱ) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(ⅲ)x→x=1;

(ⅴ) 0→x=1,

其中1=0→0.

定義 1.2[2]設X、Y是2個FI代數,f:X→Y是映射.若?x,y∈X,有f(x→y)=f(x)→f(y),則稱f為X到Y的FI-同態.若FI-同態f是單射(滿射),則稱f為單FI-同態(滿FI-同態).若FI-同態f是雙射,則稱f為FI-同構.

注 1.1設X、Y是2個FI代數,f為X到Y的FI-同態,則f(1)=1.

定義 1.3[13]集合X上的一個模糊集指的是映射μ:X→[0,1].

定義 1.4[3]稱FI代數X上的模糊集μ為X的模糊濾子,如果?x,y∈X有μ(1)≥μ(x)且μ(y)≥min{μ(x),μ(x→y)}.

注 1.2易證,FI代數X的任一模糊濾子族的模糊交仍為X的模糊濾子.

定義 1.5[6]設U是一個集合,P(U)是U的冪集,E是一個參數集.A?E且F:A→P(U)是一個映射,稱二元組(F,A)為U上的一個軟集.

其中C=A∪B,且?e∈C,

其中C=A∩B≠?,且

2模糊軟濾子的定義及其代數性質

例 2.1設X={c1,c2,c3,c4}={“白色”,“紅色”,“綠色”,“藍色”}表示4 種不同的顏色,在X上定義二元運算→如表1所示.

表 1　X上定義二元運算

證明由定義直接可得.

不是X的模糊濾子,這是因為

定理2.2～2.4推廣到X的任意多個模糊軟濾子的情形也成立,證明方法類似.

根據文獻[13],設μ1∈F(X)且μ2∈F(Y),則

3模糊軟濾子的模糊軟FI-同態像與原像

任取y∈Y,由f為FI-同構知存在唯一的x∈X使得x∈f-1(y).注意到f(1)=1,對任意的?e′∈g(A)得

參考文獻

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2010 MSC：03G25; 03E72; 06B05; 06B10

(編輯鄭月蓉)

Fuzzy Soft Filters of FI-Algebras

LIU Chunhui

(DepartmentofMathematicsandStatistics,ChifengUniversity,Chifeng024001,InnerMongolia)

Abstract：In this paper, we study filter’s theory of FI-algebras by applying the concepts and its related operations of fuzzy soft sets. The notion of fuzzy soft filter of an FI-algebra is introduced. Some algebraic properties are discussed. The concept of fuzzy soft FI-homomorphism(isomorphism) between two FI-algebras are defined, it is proved that the fuzzy soft FI-isomorphic(homomorphic) image (and inverse image) of a fuzzy soft filter is also a fuzzy soft filter.

Key words：FI-algebra; fuzzy soft set; fuzzy soft filter; fuzzy soft FI-homomorphism

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.014

中圖分類號：O141.1; O153.1

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0083-05

作者簡介：劉春輝(1982—),男,講師,主要從事數理邏輯、Domain理論與拓撲學的研究,E-mail:chunhuiliu1982@163.com

基金項目：內蒙古自治區高等學校科學研究項目(NJSY14283)

收稿日期:2014-04-20