受限于微分從屬函數的有限階哈達瑪乘積的包含性質

都俊杰,　秦　川*,　鄒發偉,　李小飛,　何先平,　馮建中

(1. 長江大學 工程技術學院, 湖北 荊州 434020;　2. 長江大學 信息與數學學院, 湖北 荊州 434000)

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受限于微分從屬函數的有限階哈達瑪乘積的包含性質

都俊杰1,秦川1*,鄒發偉1,李小飛1,何先平2,馮建中2

(1. 長江大學 工程技術學院, 湖北 荊州 434020;2. 長江大學 信息與數學學院, 湖北 荊州 434000)

摘要：定義有限階哈達瑪乘積f*φ1*…*φn,其中f,φi∈A,1≤i≤n,并定義一類在單位圓盤內微分從屬于正實部函數的解析函數類C(h,φ1,…,φn,λ),S*(h,φ1,…,φn,λ),K(h,φ1,…,φn,λ),R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ),利用微分從屬理論和凸函數理論研究它們的包含性質.

關鍵詞：凸函數; 解析函數; 哈達瑪乘積; 微分從屬; 包含關系

設A表示單位圓盤U={z∈C:|z|<1}內具有泰勒展開式

(1)

的解析函數族,并用S、S*(γ)、C(γ)分別表示A中的單葉函數類、γ階星象函數類、γ階凸函數類[1-2],這里0≤γ<1.f(z)、g(z)在U內解析,稱f從屬[3]于g,記作fg,若存在U內的Schwarz函數ω(z)(ω(0)=0,|ω(z)|<1),使f(z)=g(ω(z)).特別地,若g在U內單葉,上述從屬關系等價于f(0)=g(0),f(U)?g(U).設f(z)由(1)式定義,g(z)由(2)式定義

(2)

f(z)與g(z)的哈達瑪乘積(或稱卷積)定義為:

設h(z)為U內的凸單葉解析函數,且滿足h(0)=1,具有正實部,即Reh(z)>0.記所有滿足條件p(0)=1,ph(z∈U)的解析函數族為P(h).對于正實部函數類,目前有很多作者對其包含關系進行研究,其中包括一些泛函分析領域的權威學者(詳見文獻[4-7]).對于h(z)的特殊子類,如,被稱為Janowski函數,如取A=1-2α,B=-1,0≤α<1;取A=1,B=-1,成為目前研究熱點(詳見文獻[8]).

對f,φ1,…,φn∈A,(f*φ1*…*φn)(z)≠0,記f1(z)=f(z)*φ1(z)*…*φn(z),且記

(3)

這里0≤λ≤1.文獻[9-18]利用卷積和算子函數定義了微分從屬函數類并研究函數類的系數性質、包含關系、凸性等.

定義 3對f,φ1,…,φn∈A,F由(3)式給出,定義f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ)當且僅當(f*φ1*…*φn)′(z)+λz(f*φ1*…*φn)″(z)h(z).定義f(z)∈T(h,φ1,…,φn,λ)當且僅當zf′(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ).

記Sσ(σ≤1)為預星象函數,即f(z)∈Sσ,則

對于預星象函數Sσ,有如下結論：

1)S0=C為凸函數;

1幾個引理

引理 1[19]設f∈Sσ(σ≤1),g為σ階星象函數,H為U內的解析函數,則

引理 2[20]設h為U上的單葉解析凸函數,且h(0)=1,Re[βh(z)+α]>0(β,α∈C).若p為U上的解析函數且p(0)=h(0),則當

時,有p(z)h(z).

引理 3[21]設β,γ∈C,h(z)為U上的單葉凸函數且h(0)=1,Re[βh(z)+γ]>0,q∈A,q(z)h(z).若p為U內的解析函數且p(0)=1,Req(z)>0,則當

則p(z)h(z).

2主要結論

定理 1C(h,φ1,…,φn,λ)?S*(h,φ1,…,φn,λ).

定理 2S*(h,φ1,…,φn,λ),C(h,φ1,…,φn,λ),K(h,φ1,…,φn,λ),R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ)具有凸卷積不變性.

證明以S*(h,φ1,…,φn,λ)為例證明,其他函數類方法類似.設ψ∈C,f∈S*(h,φ1,…,φn,λ),下證(ψ*f)∈S*(h,φ1,…,φn,λ).經計算

由于f∈S*(h,φ1,…,φn,λ),所以

因此

在引理1中取σ=0,得

由于p為全體P(U)的閉凸包,因此

由S*(h,φ1,…,φn,λ)的定義,知(ψ*f)∈S*(h,φ1,…,φn,λ).

定理 3對任意λ≥0,都有S*(h,φ1,…,φn,λ)?S*(h,φ1,…,φn,0).

證明當λ=0時上述包含關系顯然成立.現假設λ>0,令f∈S*(h,φ1,…,φn,λ),并記

由引理2知,p(z)h(z),即h(z),因此f(z)∈S*(h,φ1,…,φn,0).

定理 4對任意λ≥0,都有K(h,φ1,…,φn,λ)?K(h,φ1,…,φn,0).

證明當λ=0時上述包含關系顯然成立.當λ>0時,假設f(z)∈K(h,φ1,…,φn,λ),記

由定理3知,g(z)∈S*(h,φ1,…,φn,λ),則g(z)∈S*(h,φ1,…,φn,0),即p0(z)h(z).經計算

由引理3知,p(z)h(z),即

因此f(z)∈K(h,φ1,…,φn,0).

定理 5T(h,φ1,…,φn,λ)?R(h,φ1,…,φn,λ).

證明令f∈T(h,φ1,…,φn,λ),由定義得zf′∈R(h,φ1,…,φn,λ),即

(4)

(4)式左邊變形,得

(5)

令p(z)=(f*φ1*…*φn)′+λz(f*φ1*…*φn)″,則(5)式變形為p(z)+zp′(z)h(z),由引理3得,p(z)h(z),即f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ).

定理 6R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ)為凸集.

證明以函數類R(h,φ1,…,φn,λ)為例證明,對函數類T(h,φ1,…,φn,λ),方法相同.令f1(z),f2(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ),即

由于h(U)為凸函數類,因此

即αf1+(1-α)f2∈R(h,φ1,…,φn,λ).

定理 7R(h,φ1,…,φn,λ1)?R(h,φ1,…,φn,λ2),0≤λ2<λ1.

為了證明定理7的結論,先證明下面的引理.

引理 4假設λ≥0,D(z)∈S*(h),若N(z)在U內解析,N(0)=D(0)=0,N′(0)=D′(0)=1,h(z)為U內的凸單葉具有正實部即Reh(z)>0的函數,且滿足下面的從屬關系

定理7的證明若f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ1),則

整理得

由于

這里

由引理4知,(f*φ1*…*φn)′h(z),且h(U)為凸集,因此(1-λ2)(f*φ1*…*φn)′+λ2(z(f*φ1*…*φn)′)′h(z),即f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ2).

同樣的方法,可以得到以下定理8～10.

定理 8對任意0≤λ2≤λ1,都有T(h,φ1,…,φn,λ1)?T(h,φ1,…,φn,λ2).

定理 9對任意λ≥1,都有T(h,φ1,…,φn,λ)?T(h,φ1,…,φn,1).

定理 10對λ≥0,f,φ1,…,φn∈A,設

致謝長江大學科研發展基金(2013CJY01)、長江大學應用數學研究所開放基金(KF1508)和長江大學工程技術學院科技創新基金(15J0802)對本文給予了資助,謹致謝意.

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2010MSC：30C45

(編輯周俊)

Inclusion Properties of Hadamard Product of Finitely Order Defined by Differential Subordination

DU Junjie1,QIN Chuan1,ZOU Fawei1,LI Xiaofei1,HE Xianping2,FENG Jianzhong2

(1.EngineeringandTechnologyCollegeofYangtzeUniversity,Jingzhou434020,Hubei;2.SchoolofInformationandMathematics,YangtzeUniversity,Jingzhou434000,Hubei)

Abstract：The Hadamard product of finitely order is defined with f*φ1*…*φn,f,φi∈A(1≤i≤n). The classes of analytic functions C(h,φ1,…,φn,λ),S*(h,φ1,…,φn,λ) and K(h,φ1,…,φn,λ),R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ) are defined in unit disc by differential subordination. Inclusion properties are obtained by using differential subordination and convolution.

Key words：convex function; analytic function; Hadamard product; differential subordination; inclusion properties

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.012

中圖分類號：O174.51

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0071-05

*通信作者簡介：秦川(1985—),女,講師,主要從事復分析的研究,E-mail:dujunjie0420@163.com

基金項目：湖北省自然科學基金(2013CFAO053)和湖北省教育廳科研項目(B2013281)

收稿日期:2015-04-28