一個具有相互作用非線性項的分數(shù)階微分方程組的爆破解

李　萍，　舒　級,　張　佳，　廖　歐

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

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一個具有相互作用非線性項的分數(shù)階微分方程組的爆破解

李萍，舒級*,張佳，廖歐

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

摘要：討論一類具有相互作用非線性項的分數(shù)階微分方程組的爆破解.首先給出分數(shù)階導數(shù)的形式，并得到分數(shù)階微分方程組局部解的存在性，其次由H?lder不等式估計方程組的解，得到其在有限時間內(nèi)的爆破解，并給出其解爆破時間上界的估計.

關鍵詞：分數(shù)階微分方程； 爆破解； 上界； H?lder不等式

分數(shù)階微分方程指的是含有分數(shù)階導數(shù)或者分數(shù)階積分的方程.目前,分數(shù)階導數(shù)和分數(shù)階積分在物理、生物、化學等多個學科有著廣泛的應用，如具有混沌動力行為的動力系統(tǒng)、擬混沌動力系統(tǒng)、復雜物質(zhì)或者多孔介質(zhì)的動力學、具有記憶的隨機游走等[1].本文考慮下面非線性時間α階微分方程組

初始條件：u(0)=u0,v(0)=v0,其中,p>1、q>1、u0>0、v0>0均是常數(shù)，Dα、Dβ是Caputo分數(shù)階導算子，0<α<1,0<β<1,A(t)、B(t)是連續(xù)函數(shù).

研究上述具有相互作用非線性項的分數(shù)階微分方程組的爆破解.隨著科學技術的發(fā)展，非線性方程的研究內(nèi)容日趨豐富，尤其是在流體力學、非線性光學、經(jīng)典場論、量子力學等領域已有大量研究[2-4].近幾年來，分數(shù)階偏微分方程在材料力學、生物學、等離子體物理學、金融學、化學等更多領域中被提出，并蓬勃地開展著研究，其中包括分數(shù)階非線性Schr?dinger方程、分數(shù)階Navier-Stokes方程以及分數(shù)階Ginzburg-Landau方程等[5-18].這些研究都有明確的物理背景，開辟了一個嶄新的研究領域.早在17世紀末，一些數(shù)學家如L’Hpital、Leibniz、Euler等就開始思考如何定義分數(shù)階導數(shù).19世紀70年代，Riemann、Liouville將Cauchy積分公式推廣，得到函數(shù)的分數(shù)階導數(shù)的定義[1].本文將通過H?lder不等式得到方程組(1)在有限時間內(nèi)的爆破解.首先給出分數(shù)階微積分的一些基本定義,然后再給出方程組(1)的局部解存在性，最后得出主要結果并加以證明.

1預備知識

下面首先給出分數(shù)階微積分的基本定義，參見文獻[1,5].

定義 1.1設f在Jo=(0,∞)上分段連續(xù)，并且在J=(0,∞)的任意有限子區(qū)間上可積，對任意的t>0以及使得Reα>0的任意的復變量α,函數(shù)f的α階R-L分數(shù)階積分定義為

(2)

其中規(guī)定D0f(x)=f(x).

α階的Riemann-Liouville分數(shù)階積分算子性質(zhì):若α,β≤0,則有

(3)

定義 1.2Riemann-Liouville分數(shù)階導算子Dα定義如下

(4)

其中,m-1<α0.

(5)

其中m-1<α≤m,m∈N,x>0.

接下來給出方程組(1)的局部解存在性，證明方法參見文獻[5].

假設存在常數(shù)M>0，使得|A(t)|≤M,|B(t)|≤M,0≤t≤T,并且滿足Lipschitz條件：

考慮積分方程組

定理 1.1[5]設x(t),y(t)，t∈[0,T]是積分方程組(6)的連續(xù)解，令

(7)

那么(u,v)就是滿足初始條件u(0)=u0,v(0)=v0的方程組(1)的解.

2方程組的爆破解

在本節(jié)將給出方程組(1)在有限時間內(nèi)的爆破解和爆破時間的一個上界.

定理 2.1如果u0>0,v0>0,p>1,q>1,A(t)>0,B(t)>0是連續(xù)函數(shù)，并且滿足Lipschitz條件：

則方程組(1)的解在有限時間內(nèi)爆破，并給出了其解爆破時間上界的一個估計.

證明(反證法)假設(u,v)是方程組(1)的全局解.設

(8)

滿足

(9)

(10)

其中

因為Riemann-Liouville分數(shù)階導算子在[0,T]上積分滿足公式(參見文獻[1])

(11)

則在方程組(1)兩側同時乘以φ(t),再在區(qū)間[0,T]上對t積分有

(12)

可以得到

(13)

同理

(14)

因為A(t)>0,B(t)>0是連續(xù)函數(shù)，則存在常數(shù)L>0使得A(t)≤L,B(t)≤L,t∈[0,T],由H?lder不等式可得

(15)

同理可得

令

(17)

于是得到

(18)

同理可得

(19)

(20)

代入(18)式中得

(21)

其中

(22)

代入(20)式可得

(23)

(24)

所以

(25)

其中

當T→∞時，在(25)式中可得到v0≤0,這與已知v0>0矛盾，故假設不成立，方程組(1)存在有限時間的爆破解.

下面對爆破時間進行估計，將(21)式代入(25)式中有

(26)

其中

(27)

同理對u0進行估計

(28)

(29)

由于

(30)

所以

(31)

當T→∞時，在(31)式中可得到u0≤0,這與已知u0>0矛盾，故假設不成立,方程組(8)有有限時間的爆破解.

下面對爆破時間進行估計，將(18)和(20)式代入(31)式中有

u0≤

(32)

其中

因此，得到爆破解的時間上界為

參考文獻

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(編輯陶志寧)

Blowing-up Solutions for a Nonlinear System of Fractional Differential Equations with Interaction Nonlinearity

LI Ping,SHU Ji,ZHANG Jia,LIAO Ou

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：In this paper, we discuss the blow-up solutions of a nonlinear system of fractional differential equations. Firstly we give the form of fractional derivatives and get the local existence of solutions to the system of the integral equations. Secondly we obtain the blow-up solutions to the fractional differential equations in a finite time by using H?lder’s inequality， and the upper bound of blowing-up time．

Key words：fractional differential equation; blowing-up solution; upper bound; H?lder inequality

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.003

中圖分類號：O177.92

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0015-05

*通信作者簡介：舒級(1977—),男,副教授,主要從事隨機動力系統(tǒng)、偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com

基金項目：國家自然科學基金(11371267)和四川省教育廳重點科研基金(14ZA0031)

收稿日期:2014-07-01