廣義強非線性擬變分不等式組的迭代算法

佘珺彤，　夏福全

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

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廣義強非線性擬變分不等式組的迭代算法

佘珺彤，夏福全*

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

摘要：研究一類新的廣義強非線性擬變分不等式組解的存在性及算法.首先建立廣義強非線性擬變分不等式組與不動點問題的等價關系.利用這一等價關系討論廣義強非線性擬變分不等式組解的存在性與唯一性.然后給出一個含有誤差的投影迭代算法.最后證明了該算法產生的迭代序列收斂到廣義強非線性擬變分不等式組的唯一解.

關鍵詞：廣義強非線性擬變分不等式組; 強單調; Lipschitz條件; 投影動態系統

變分不等式理論,早在20世紀60年代就已經出現[1],并在最優控制、非線性規劃、對策理論、物理學、經濟與工程學等眾多領域有著重要應用.因此許多專家學者對變分不等式問題作了深入的研究,獲得了豐富的結果[2-4]等.同時,R. U. Verma[4]首先在變分不等式問題的基礎上介紹并研究了變分不等式組并且利用投影算法尋找變分不等式組的近似解.在這之后文獻[5-7]對變分不等式組問題作了推廣.而擬變分不等式問題出現的時間相對較晚,它在納什博弈及運輸網絡平衡等問題上有著廣泛的應用,參見文獻[8-9]及其參考文獻.此外,擬變分不等式問題的結果也可以應用到一些經濟與商業模型中[10].但相較于更為成熟的變分不等式問題,擬變分不等式問題在理論分析與算法應用上得到的結果都是有限的,擬變分不等式組的結果就更少了.因而近年來,擬變分不等式以及擬變分不等式組問題引起了越來越多的專家學者的關注和研究.

由于投影動態系統有良好的分析性質，并且其的穩定點集合與變分不等式問題的解集相一致，因此，在近幾年,人們考慮應用投影動態系統來分析解決變分不等式問題及其相關問題,獲得了豐碩的成果,參見文獻[11-15]等.

本文主要利用投影動態系統研究了一類新的廣義強非線性擬變分不等式組解的存在性及算法.首先建立了廣義強非線性擬變分不等式組與不動點問題的等價關系.通過這一等價關系討論了廣義強非線性擬變分不等式解的存在性與唯一性.然后給出了一個含有誤差的投影迭代算法.最后證明了該算法產生的迭代序列收斂到廣義強非線性擬變分不等式組的唯一解.

本文假設H為Hilbert空間,它的內積和范數分別記為〈·,·〉和‖·‖.設Ti:H→H,Ai:H→H,hi:H→H和gi:H→H(i=1,2)都是單值映射.Si:H→2H(i=1,2)是一個非空閉凸集值映射.對于給定的常數ρ,η>0.考慮如下問題:

求x*,y*∈H,使得(h1(x*),h2(y*))∈S1(x*)×S2(y*),并且

上述問題稱為廣義強非線性擬變分不等式組,簡稱SGQVI.所研究的問題包含以下問題為特例：

當Ai=0(i=1,2)時,SGQVI退化成一類新的廣義擬變分不等式組,簡記為SQVI:求x*,y*∈H,使得(h1(x*),h2(y*))∈S1(x*)×S2(y*),并且

(2)

當T1=T2=T,h1=h2=h,g1=g2=g,ρ=η時SQVI退化成Q. H. Ansari等在文獻[16]中研究的一類變分不等式問題:求x*∈H,使得h(x*)∈S(x*),且

設K是H中的非空閉凸子集,當hi=gi=I(i=1,2),w=v=x,S1(x*)=S2(y*)=K時,SQVI退化成S. S. Chang等在文獻[5]中研究的一類變分不等式組問題:求x*,y*∈K,使得

(3)

1預備知識

為了研究廣義強非線性擬變分不等式組問題(1)解的存在性和迭代算法以及其算法的收斂性,首先介紹一些有用的定義及定理.

定義 1.1設T:H→H是單值映射,稱T是:

(a) 單調映射,如果對?x,y∈H有

(b)ξ-強單調映射,如果存在一個常數ξ>0使得?x,y∈H有

(c)μ-Lipschitz連續映射,如果存在一個常數μ>0使得?x,y∈H有

引理 1.1[17]若對任意x∈H,S(x)都是H的一個非空閉凸集,則對一個給定的z∈H,u∈S(x)滿足

的充分必要條件是u=PS(x)(z),其中PS(x)是H在非空閉凸集S(x)上的投影.進一步,知道投影算子PS(x)(·)是非擴張的,即

引理 1.2[18]令{an}、{bn}和{cn}是3個非負實數序列,且存在一個自然數n0使得

2廣義強非線性擬變分不等式組解的存在性與唯一性

定理 2.1設Ti:H→H,Ai:H→H,hi:H→H和gi:H→H(i=1,2)都是單值映射.Si:H→2H(i=1,2)是一個非空閉凸集值映射,ρ,η>0為給定的常數,則x*,y*∈H是廣義強非線性擬變分不等式組(1)的解,當且僅當

(4)

證明令x*,y*∈H是廣義強非線性擬變分不等式組SGQVI的一個解,使得(h1(x*),h2(y*))∈S1(x*)×S2(y*),并且

由引理1.1,可知(5)式等價于

應用上述引理,證明廣義強非線性擬變分不等式組(1)解的唯一存在性.

定理 2.2設Si:H→2H(i=1,2)是2個非空閉凸集值映射.對任意i=1,2,Ti:H→H是ξi-強單調且μi-Lipschitz連續映射,gi:H→H是ζgi-強單調且σgi-Lipschitz連續映射,hi:H→H是ζhi-強單調且σhi-Lipschitz連續映射Ai:H→H是θi-Lipschitz連續映射,并且存在一個常數τ>0,使得

如果存在常數ρ>0,η>0,對所有i=1,2都有

(6)

則廣義強非線性擬變分不等式組SGQVI有唯一解.

證明對?x,y∈H使得h1(x)∈S1(x),h2(y)∈S2(y),定義映射Ψ,Φ:H×H→H如下:

(7)

(8)

在H×H中定義‖·‖*如下：

易知(H×H,‖·‖*)是一個Banach空間.

再定義映射F:H×H→H×H如下:

(9)

(10)

因為h1是ζh1-強單調且σh1-Lipschitz連續,則有

(11)

因為g1是ζg1-強單調且σg1-Lipschitz連續,則有

(12)

因為T1是ξ1-強單調且μ1-Lipschitz連續,則有

(13)

根據A1是θ1-Lipschitz連續映射可得

(14)

由(10)～(14)式可得

(15)

其中

同理可得

(16)

其中

由(9)、(15)～(16)式可得

(17)

這里δ=max{κ1+λ2,κ2+λ1}.由條件(6)可得0≤δ<1.并且,由(17)可知F是一個壓縮映射.根據Banach不動點定理可知,存在唯一的點(x*,y*)∈H×H,滿足(h1(x*),h2(y*))∈S1(x*)×S2(y*),使得F(x*,y*)=(x*,y*).由(7)～(9)式可推出

又由定理3.1.可知x*,y*∈H,使得(h1(x*),h2(y*))∈S1(x*)×S2(y*)是擬變分不等式組(1)的一個解.

注正如M. A. Noor[19]所說,若S(x)=m(x)+K,這里m(x):H→H是一個單值映射,K為H中的非空閉凸子集,則

再設m(x):H→H是γ-Lipschitz連續,易知

(18)

從而,定理2.2中假設存在一個常數τ>0,使得

?x,y,z∈H

的條件成立.

3一個新的投影迭代算法及其收斂性

在這一部分,介紹SGQVI的一個含有誤差的投影迭代算法,并且證明了這一算法產生的迭代序列最終收斂到廣義強非線性擬變分不等式組SGQVI的解.

現將廣義強非線性擬變分不等式組的解的配對(x*,y*)所組成的集合記為sol(SGQIV).令Ti,Ai,hi,gi:H→H(i=1,2)都為單值映射,Si:H→2H(i=1,2)為集值映射,ρ>0,η>0為給定常數.若(x*,y*)∈sol(SGQIV),則由定理2.1與定理2.2,可得(h1(x*),h2(y*))∈S1(x*)×S2(y*),且

由(19)式給出下列含有誤差的投影迭代算法.

易知,這一含有誤差的投影迭代算法包含了一般的投影迭代算法，即如下所述的算法2.

如果Ai=0(i=1,2),則由算法1得到廣義擬變分不等式組(2)的含有誤差的投影迭代算法.

證明由定理2.1和定理2.2可知,廣義強非線性擬變分不等式有唯一的解x*,y*∈H.因而sol(SGQIV)是單點集.可以推出

這里序列{αn}與{βn}滿足算法1中的假設條件.令

根據算法1中的假設，易知Γ≤0有界.由(20)、(24)式可知

(25)

因為T1:H→H是ξ1-強單調且μ1-Lipschitz連續映射,g1:H→H是ζg1-強單調且σg1-Lipschitz連續映射,h1:H→H是ζh1-強單調且σh1-Lipschitz連續映射,A1:H→H是θ1-Lipschitz連續映射.根據(11)～(14)式相同的證明方法可得

(26)

(27)

(28)

因此,由(26)～(29)式可得

(30)

同理,可得

(31)

這里κi、λi與(15)～(16)式中相同,由(30)～(31)式可得

參考文獻

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2010 MSC：47H05; 47J20; 49J40; 90C33

(編輯周俊)

Iterative Algorithms for a System of Extended General Strongly Nonlinear Quasi-Variational Inequalities

SHE Juntong,XIA Fuquan

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：In this paper, we introduce and study a new system of extended general strongly nonlinear quasi-variational inequalities. First, we establish the equivalences between this system and fixed point problems. By using these equivalences, we discuss the existence and uniqueness of solution to the system. And then, we define a new projection iterative algorithm with mixed errors for finding the unique solution of the system. Finally, we prove the convergence of the suggested iterative algorithm.

Key words：system of quasi-variational inequalities; strongly monotone; Lipschitz conditions; projection dynamical systems

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.002

中圖分類號：O176.3; O178

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0008-07

*通信作者簡介：夏福全(1973—),男,教授,主要從事優化理論及應用的研究,E-mail:fuquanxia@sina.com

基金項目：教育部科學技術重點項目(212147)

收稿日期:2015-02-06