三次樣條插值函數在多媒體課件中的實現

魏霖靜 鄭琯荷(甘肅農業大學信息科學技術學院 甘肅 蘭州 730070)

三次樣條插值函數在多媒體課件中的實現

魏霖靜 鄭琯荷
(甘肅農業大學信息科學技術學院 甘肅 蘭州 730070)

作為計算方法中的一種重要的插值函數，三次樣條插值函數一直是學生學習的一大重點及難點，要如何學好三次樣條插值函數也成了教師和學生共同思考的問題。通過多媒體課件可以更好的表達這一函數的思想。

三次樣條插值函數；多媒體課件

0.引言

三次樣條插值函數是教學的重點及難點，普通的板書及講授不能很好的讓學生了解掌握這個函數，因此，我們使用多媒體課件的形式來表達，讓學生清晰明了的掌握。

1.三次樣條函數的定義

函數S(x)∈C2[a,b]，且在每個小區間[xj,xj+1]上是三次多項式，其中a=x0

若在節點xj上給定函數值Yj=f(Xj).(j=0,1,,n)，并成立S(xj)=yj.(j= 0,1,,n)，則稱S(x)為三次樣條插值函數。

由于插值節點有n+1個，故得到n個小區間，而每個小區間上要求一個三次多項式，每個區間需要4個條件，所以要確定樣條函數S，共需要4n個條件。

在插值節點上，S(xj)=f(xj),j=0,1,2,...,n,得到n+1個條件，在j=1,2,...,n-1,由S，S的一階導數，S的二階導數連續可以得到3(n-1)個條件，所以總共得到了，4n-2個條件，要確定S還需要兩個條件。就是通常所說的邊界條件。

邊界通常有自然邊界（邊界點的導數為0），夾持邊界（邊界點導數給定），非扭結邊界（使兩端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等）。一般的計算方法書上都沒有說明非扭結邊界的定義，但數值計算軟件如Matlab都把非扭結邊界條件作為默認的邊界條件

2.三次樣條插值函數的推導過程

如果假設S'(xi)=mi,i=0,1,…,n,利用分段Hermite插值多項式,當x∈[xi-1,xi]時:

其中hi=xi-xi-1。為確定S(x),只要確定mi,i=0,1,…,n。就可以用S"(xi-0)=S"(xi+0)來求出mi。

當x∈[xi-1,xi]時，由于：

所以可得出:

3(λif[xi-1,xi]+μif[xi,xi+1])=gi,最后得出:

λimi-1+2mi+μimi+1=gi,i=1,2,…,n-1. (*式)

再結合不同的邊界條件,可得到關于mi的方程。

如邊界條件為:m0=y'0,mn=y'n,帶入(*式)可得:

如邊界條件為:S"(x0)=y"0,S"(xn)=y"n,則有:

連同(*式)一起,可得:

如邊界條件是周期性邊界條件，由S'(x0+0)=S'(xn-0),和S"(x0+0)=S" (xn-0),得到m0=mn和λnmn-1+2mn+μnm1=gn，其中:

所以得到:

3.經典算法

在Matlab[2]環境下根據上述算法步驟進行編

程，主要源程序段如下：

function[]＝spline3(X,Y,dY,x0,m)

N＝size(X,2);

s0＝dY(1);sN＝dY(2);

interval＝0.025;

disp('x0為插值點')

x0

h＝zeros(1,N-1);

for i＝1:N-1 h(1,i)＝X(i+1)-X(i);end

d(1,1)＝6*((Y(1,2)-Y(1,1))/h(1,1)-s0)/h(1,1);

d(N,1)＝6*(sN-(Y(1,N)-Y(1,N-1))/h(1,N-1))/h(1,N-1);

for i＝2:N-1

d(i,1)＝6*((Y(1,i+1)-Y(1,i))/h(1,i)-(Y(1,i)-Y(1,i-1))

/h(1,i-1))/(h(1,i)+h(1,i-1));end

mu＝zeros(1,N-1);md＝zeros(1,N-1);

md(1,N-1)＝1;mu(1,1)＝1;

for i＝1:N-2

u＝h(1,i+1)/(h(1,i)+h(1,i+1));mu(1,i+1)＝u;

md(1,i)＝1-u;end

p(1,1)＝2;q(1,1)＝mu(1,1)/2;

for i＝2:N-1

p(1,i)＝2-md(1,i-1)*q(1,i-1);q(1,i)＝mu(1,i)/p(1,i);end

p(1,N)＝2-md(1,N-1)*q(1,N-1);

y＝zeros(1,N);y(1,1)＝d(1)/2;

for i＝2:N y(1,i)＝(d(i)-md(1,i-1)*y(1,i-1))/p(1,i);end

x＝zeros(1,N);x(1,N)＝y(1,N);

for i＝N-1:-1:1x(1,i)＝y(1,i)-q(1,i)*x(1,i+1);end

fprintf('M為三對角方程的解 ');M＝x;

在c語言[3]環境下根據上述算法步驟進行編程，主要源程序段如下：

void cubic_getval (real_T*y,const int_T*size,const real_T*map,const real_T x,const int_T step)

{

int_T n＝size[0];

//曲線系數

real_T*ai＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*bi＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*ci＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*di＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));

real_T*h＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-1));//x的??

/*M矩陣的系數

*[B0,C0,...

*[A1,B1,C1,...

*[0,A2,B2,C2,...

*[0,... An-1,Bn-1]

*/

real_T*A＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));

real_T*B＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));

real_T*C＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));

real_T*D＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));//等號右邊的常數矩陣;

real_T*E＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n-2));//M矩陣

real_T*M＝(real_T*)malloc(sizeof(real_T)*(n));//包含端點的M矩陣;

4.三次樣條插值算法的多媒體課件表示

分段插值

分段線性插值

分段三次Hermite插值

分段插值可以得到整體連續函數，但在連接點處一般不光滑，而Hermite插值雖然在連接點處一階光滑，但整體插值由于結點多次數高而有可能發生龍格現象。

希望：既想分段插值，又想在結點處保持光滑，甚至二階光滑——三次樣條。

三次樣條插值

舉例說明：

例4：對如下Runge現象中的函數，求用n分點作節點的三次樣條插值多項式s3(x)的圖像。

取n=5,10,20等，將區間等分成n份，取分點作為插值節點，利用matldb函數csape()作出它的三次樣條插值函數，并作出這些插值函數與被插函數的圖像。

但由于插值節點數目較多，故不列出插值函數的表達式，只畫出它們的圖象與被插函數的圖象的復合，從這些圖象可以看出，隨著節點數目的增多，樣條插值函數圖象越來越符合被插函數，因此避免Runge現象，也就是說三次樣條插值函數具有收斂性。

5.結論

用多媒體課件表達出來的三次樣條插值函數，能生動形象的表達出來.讓學生和教師都能在課堂上達到事半功倍的效果。

［1］易大義,沈云寶,李有法.計算方法[M].浙江:浙江大學出版社，2002,(6):55-63.

［2］張錚,楊文平,石博強,等.MATLAB程序設計與實例應用[M].北京:中國鐵道出版社,2003.

［3］http://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/01/26 / 2878092 .html.

G642.3

A

2095-7327（2016）-04-0097-03

蘭州市科技局項目編號2014-1-74。

魏霖靜（1977—），女，甘肅農業大學信息科學技術學院副教授，博士，研究方向為智能計算，生物信息學、網絡。