數(shù)列極限求解方法的探討

張俊青（山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山西 太原 030006）

數(shù)列極限求解方法的探討

張俊青
（山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山西 太原 030006）

數(shù)列是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常基礎(chǔ)的概念，在高等數(shù)學(xué)中有非常重要的應(yīng)用。數(shù)列極限的計(jì)算，是微積分學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，本文通過(guò)實(shí)例對(duì)多種求極限的方法進(jìn)行了有益的探討。

數(shù)列極限；求解方法

0.引言

數(shù)列極限是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，本文重點(diǎn)介紹了數(shù)列極限的求解方法。包括單調(diào)有界法，“求”與“證”結(jié)合法，ε-N定義法等。通過(guò)實(shí)例本文總結(jié)了這些方法的特點(diǎn)、適用范圍以及需要注意的問(wèn)題。

1.單調(diào)有界法

證明：an=,易見(jiàn)數(shù)列an｛｝是遞增的，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明an｛｝有上界。顯然a1=，假設(shè)an<2,則有an+1==2，從而a

n+1<2,即可知數(shù)列an｛｝有上界。根據(jù)單調(diào)有界定理可得，數(shù)列an｛｝有極限。假設(shè)=a。

求解可得a=2或a=-1，因a＞0，固取a=2

2.“求”與“證”結(jié)合

∴數(shù)列xn｛｝是單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列。所以，xn｛｝必有極限。以下求xn｛｝的極限，設(shè)

注意：對(duì)于極限存在性的證明是必須的，只做求解而不做證明很可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。不妨來(lái)看這樣一個(gè)反例：xn=5·2n-1(n=1,2,···)，則xn+1=xn·2(*)。

用數(shù)列極限定義法求解時(shí)，關(guān)鍵是找數(shù)列極限定義中的正整數(shù)N。

4.相應(yīng)子序列的極限與函數(shù)極限等值

將數(shù)列中的n換成x，將數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的極限，求出此函數(shù)的極限，則得到相應(yīng)數(shù)列的極限。

5.級(jí)數(shù)斂審法

6.利用定積分求極限

利用定積分求極限，主要針對(duì)于求解項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大的無(wú)窮小量之和的極限。求解步驟為：①將每一項(xiàng)都提出一個(gè)，提出后，剩下的式子表示為一個(gè)通項(xiàng)；②將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)公式所對(duì)應(yīng)的函數(shù)在某一區(qū)間上的積分。

7.利用夾逼定理求極限

通常n個(gè)項(xiàng)按遞增或遞減排列時(shí)，用夾逼定理求解。

8.結(jié)語(yǔ)

上述歸納了針對(duì)高等數(shù)學(xué)中不同特點(diǎn)的數(shù)列極限一些常用求解方法。在做具體數(shù)列極限的求解時(shí)，應(yīng)觀察數(shù)列的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒`活掌握。數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常基礎(chǔ)的概念，對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，對(duì)于數(shù)列極限的求解方法還有很多，將在今后的探索中進(jìn)一步研究不斷完善。

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As a very basic mathematical concept,Sequence Extremity is an important part in mathematics curriculum,and has vital application in higher mathematics.The calculation of Sequence and Extemity is a tough point to many students in learning calculus.This thesis will carry on a beneficial discussion by illustrating on a variety of ways which used to solve the Extremity.

Sequence Extremity；Solving method

張俊青（1982—），女，漢族，山西繁峙人，助教，畢業(yè)于鄭州大學(xué)，就職于山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，研究方向?yàn)樾畔⑴c計(jì)算科學(xué)。

The discussion of Sequence Extremity proving in higher mathematics

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2095-7327（2016）-04-0150-02