淺談數學問題設計

蔡步甜

華羅庚曾說過：“學數學而不做數學題，等于入寶山而空返。”教師適當地安排學生做些數學習題，不僅是鞏固與檢查課堂教學效果的重要手段，而且是知識轉化技能、培養學生思維能力的重要途徑。

數學學科要真正減輕學生負擔，教師就要在提高習題“品位”上下功夫，以減少學生的習題量。要做到這一點，數學教師必須經歷從布置習題到設計習題的觀念轉變。提倡教師自己動手設計習題，花大力氣提高習題的質量。我結合多年的數學教學的實踐談談習題設計的幾種主要方式。

一、多變——規律式習題設計

在數學教學中運用多變式習題設計，選擇適當的題型，變換條件和結論，得出新題，由一題變多題，引導學生將問題步步深化，克服思維定勢，開闊思路，培養他們發散式思維能力，提高學生思維的敏捷性和解題的靈活性。

在教學過程中為了鞏固對等腰三角形兩底角相等的性質理解，對以下原題進行多變式設問。

例1 原題：“若等腰三角形的一個底角為55°，則其頂角是幾度？“將原題的條件和結論作適當的變換，得到以下多變題組：

1、若等腰三角形的一個頂角為55°，則其底角是幾度？

2、若等腰三角形的一個內角為55°，則其余的角各為幾度？

3、若等腰三角形的一個內角為100°，則其余的角各為幾度？

4、若等腰三角形的一個內角為A°，則其余的角各為幾度？

一題多變是數學教師在執教中的慣用手法，我認為一題多變的關鍵是要使學生在變化中找出解答這類題目的規律，從而使復雜的題型簡潔化。

二、多解——捷徑式習題設計

不少習題可有多種解法，教師在教學中常用一題多解來培養學生創新思維的能力。但我認為，一題多解的關鍵是要使學生從多解之中找出捷徑。那種追求形式越解越難的一題多解只會增加學生的負擔，故一題多解習題一定要設計得當，確實讓學生在多解中解得輕松。

例2 解方程2x+ =1

讓學生自己動手來解，結果總結出兩種解法：一是將左邊2X移到右邊，后面兩邊平方來解；二是設 =y，用換元法來解。教師問：“還有別的解法嗎？”學生們面面相覷，此時引導學生對移項后的方程式進行分析，啟發學生聯想二次根式定義中的兩大特點（被開方數非負數、結果非負數），由定義得

2x-1≥0

1-2x≥0，因此x= 。很顯然，這第三種解法就是解本方程的捷徑。

對于幾何證題，一題多證更為廣泛。

三、陷阱——強化式習題設計

某些數學知識，教師僅僅在課堂上照本宣科或正面闡述并不能使學生加深印象和透徹理解，這時如果教師巧妙設計“陷阱”，有意識地讓學生經受“挫折”，迫使他們尋找失誤的癥結和預防方法，從而給學生打上難以磨滅的烙印，有效地培養了學生思維的嚴密性，使他們在以后解題時不走或少走彎路。

例3 已知一扇形的周長為10cm，

（1）求扇形面積y關于半徑x的函數關系式；

（2）求自變量半徑x的取值范圍。

讓學生自己動手解，結果為：（1）解析式為：y=5x-x2；（2）取值范圍為0 ，則

四、組題——同類式習題設計

歸納分類、組題教學能使學生加深對知識的理解，培養學生舉一反三的能力，使他們通過有限的練習，從中悟出共同的解題規律，使之從題海中解脫出來。題組形式很多，有疊加題組、串聯題組、并聯題組、同類題組、變式題組、專題題組……筆者認為從減輕學生負擔而言，“同類題組”最有意義。

例4 （1）已知x、y為實數，x2+2y+y2-6x+10=0，求x、y。

（2）已知a2+2+ =2 ，求a- + + 的值。

（3）a、b為實數，求關于x、y的方程3x2+4y2-6ax-8by+3a2+4b2=0的實數解。

（4）已知a、b、c為△ABC三邊，且a2+b2+c2=ac+bc+ab，求證以a、b、c為三邊的三角形是等邊三角形。

（5）求證方程式x4-3x2+2x+5=0無實數解。

上述五個問題情景各不相同，但萬變不離其宗，均可依據“任何實數的平方不小于零”這一條來解題，抓住了這一規律，上述這些貌似繁雜的習題就迎刃而解了。

通過以上四種習題設計的主要方式的闡述，概言之，它的主要優點在于：解題思路開闊，解題方法類聚，思維規律性強；不但有利于提高學生的解題能力，而尤其有利于培養學生類比、歸納、猜想和探索的能力。實踐證明，根據教學過程不同階段的要求，以及教材不同內容的需要，無論是復習課還是新授課，有針對性地精心設計不同形式的習題進行教學，可以有效地遏制“題海戰術”現象，以減輕學生過重的學業負擔，并且將會取得更好的教學效果。