概率論知識在經濟問題中的應用研究

摘 要：在分析概率論知識在經濟學諸多領域的應用的基礎上，結合教學實踐，著重分析概率論在利用古典概型求彩票中獎率、期望方差在金融投資組合中的應用，以及中心極限定理在保險盈利中的應用。通過這些分析，為人們科學地認識概率論在經濟學中的作用提供一些有益的指導。

關鍵詞：古典概型；期望方差；投資組合；中心極限定理；經濟學

中圖分類號：F014 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2016）01-0004-02

一、引言

這些年隨著科學技術的發展，概率論與數理統計在經濟學的研究中得到廣泛應用。借助概率論方法研究經濟問題有三個優勢：（1）由于數學固有的靈活性，可使金融領域的相關研究和探索借助于其多種計算方法和數學模型，從而更好地實現金融問題背后的經濟變量函數，使復雜的關系清晰化。（2）由于其固有的嚴密邏輯性，使得數學分析成為科學推理的主要手段，并使其他一些難以解釋的邏輯關系變得簡單化。（3）由于其固有的精確性，使得對經濟范疇之間的數量關系的描述和研究可以數量化。總之，概率論在經濟學中的應用使得經濟學成為一門更加規范的科學。

二、概率論在經濟問題中的應用

（一）概率論在彩票中的應用

隨著我國的彩票運營機制的日漸成熟，彩票以其“機會均等”的中獎機制愈來愈得到廣大人民群眾的參與與支持，也逐漸成為許多人生活的一部分。因起源于古代賭博游戲，概率論常常被應用于估計推斷彩票的中獎可能性。設樣本空間基本事件的個數m，事件所包含基本事件的個數n，則事件A的概率P（A）=n/m。

例1，每注雙色球由7個號碼球組成，包括6個紅色號碼球和1個藍色號碼球。紅色號碼球編號從1-33，藍色號碼球編號從1-16，中獎規則如下：一等獎，猜中6個紅球及1個藍球；二等獎，猜中6個紅球；三等獎，猜中5個紅球及1個藍球。求對應于每種中獎等級的概率？

解：記事件Ai為中i等獎，則：

P（A1）==5.6430×10-8

P（A2）==9.0288×10-7

P（A3）==9.1417×10-6

通過上面的分析可以看到，“雙色球”方案對應于不同等級的中獎概率，彩民們可以結合不同的中獎概率及自己的收入水平來購買彩票。

（二）概率論在投資組合中的應用

在金融市場上，任何投資者首要考慮的目標便是規避投資風險。在眾多降低風險的途徑中，多樣化投資是較為有效的一種方式。1952年美國經濟學家馬科維茨通過研究投資證券的選擇及資金配比，提出了投資組合理論。該理論以期望來刻畫投資組合的收益率，以方差來刻畫投資組合的風險。

在概率論中，隨機變量的和與差的期望和方差是一個重要的內容，設兩個隨機變量X和Y，則隨機變量的期望和方差滿足如下性質：

E（X+Y）=E（X）+E（Y）

D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2Cov（X，Y）

其中，Cov（X，Y）為X和Y的協方差。

例2， 若A和B為兩種風險資產，收益率分別為X和Y，投資資金配比分別為ω和1-ω。設兩種風險資產收益均值分別為μ1和 μ2，方差分別為σ2

1和σ2

2，相關系數為ρ。求此投資組合的平均收益及風險，并求使投資風險最小時的ω。

解：設此投資組合的收益為：

Z=ωX+（1-ω）Y

則平均收益和風險分別為：

E（Z）=ωE（X）+（1-ω）E（Y）=ωμ1+（1-ω）μ2D（Z）=ω2D（X）+（1-ω）2D（Y）+2ω（1-ω）Cov（X，Y）

=ω2σ2

1+（1-ω）2σ2

2+2ω（1-ω）ρσ

1σ

2

要求最小投資風險，即求D（Z）關于ω極小值點，令=0，即2ωσ2

1-2（1-ω）σ2

2+2ρσ

1σ

2-4ωρσ

1σ

2=0

解得：

ω=

當σ2

1=0.04，σ2

2=0.09，ρ=0.5，通過計算得到ω=0.875，即在這種情況下，投資者把85.7%的資金投資證券A，把14.3%投資于證券B，可使投資風險最小。

（三）概率論在保險市場中的應用

在人們的生活中，會遇到各種各樣的風險，如何防范風險，便成了很多人不得不考慮的問題，保險公司也就應運而生。保險公司為各種風險保障服務，所以人們有時對保險公司是否盈利存有疑慮。其實，保險市場就是概率論知識最為重要的一個應用。意外僅僅是小概率事件，一般不會發生，我們可以應用中心極限定理來對保險公司的盈虧進行估算和預測。

例3，若一家保險公司有10 000個人參保人壽保險，費用為每人每年12元。假設一個人在一年內死亡的概率為0.6%，且死亡時保險公司需向其家屬賠付1 000元，問：

（1）此保險公司有多大的概率會虧損？

（2）若其他條件不變，為使保險公司每年的利潤不少于6 000元的概率至少為99%，可最多設賠償金為多少？

解：設X表示一年內死亡的人數，則X～b（n，p），其中n=1 000，p=0.6%。

近似地X～N（60，59.64），設Y表示保險公司一年的利潤，則：

Y=10 000×12-1 000X，

于是由中心極限定理得：

（1）P（Y<0）=P（10 000×12-1 000X<0）

=1-P{≤}

≈1-Φ（7.769）=0

（2）設賠償金為a元，則：

P（Y≥6 000）=P（10 000×12-aX≥6 000）=P（X≤）≥0.99

由中心極限定理，上式等價于：

Φ

≥0.99

解得：

a≤769.39

從上面的例題可以看出，此保險公司虧損的概率幾乎為零。現實生活中，為使效益最大化，保險公司往往針對不同的風險等級設計不同的理賠率。因此，我們可以為小概率的“意外”買保險，保險公司也不會因此意外而虧損，由此達到雙贏的目的。

三、結語

通過以上分析可以看出，概率論的發展對現代經濟的發展起到了巨大的促進作用，它為經濟學的發展提供了一定的理論基礎，也使資本市場更加豐富多彩。其次，在經濟問題如彩票、保險市場、組合投資等領域，概率論使一些具有隨機性質的經濟行為得到更合適的描述，人們也更容易厘清這些隨機經濟行為的內在聯系，這樣會推動經濟理論進一步深化和發展。由此可見，概率論使一些現代經濟學問題變得更加清晰、可量化，正一步步推動著現代經濟學的發展。

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[責任編輯 吳高君]