小學數學教科書中非常規問題解決題編寫的分析和建議

摘 要：本文主要介紹非常規問題的基本含義，采用統計學方法，分析我國蘇教版、北師大版、人教版小學數學四年級教科書中非常規數學問題分布特點，提出了小學數學教科書中非常規問題的編寫建議。

“問題解決”在國際數學教育中一直是研究熱點。我國也出現了許多有關“問題解決”的研究文獻，但學生在問題解決中的表現情況并沒有明顯好轉，而國外研究發現小學生在問題解決過程中表現不良的原因與教材中的問題解決題所占比重有關。

本文以蘇教版、北師大版、人教版三個版本為例，對這三個版本的小學四年級數學教科書中的問題解決題所占比重進行統計分析，以此了解學生學習數學問題解決題機會的程度，為我國小學數學教科書中非常規問題解決題編寫提供建議。

一、非常規問題的基本含義

MAYER對問題解決教學目標的定義是促進學生在非常規問題（如開放性問題）的遷移測驗中的操作，因此問題解決中的“問題”指的是非常規數學問題，并不包括常規數學問題。

這里的常規數學問題，就是指課本中有現成的方法、原理或程序進行解答的數學問題。而非常規數學問題，是指無法用現成的常規方法解決的問題。它不是一個簡單明確的情景，需要創造性思維和應用一系列認知策略理解問題的情景來找到一個方法解決這個問題。

本文基于初步的統計分析發現，三種版本教科書的非常規問題都很少，而常規題很多。于是筆者決定定義一種介于非常規題和常規題之間的問題，稱作“灰色區域題”，它能夠刺激非常規的解決方法和觸發學生的創新思維。這里把灰色區域題和非常規題暫統稱為問題解決題。

為了更清楚區分常規題、灰色區域題和非常規題的區別與聯系，下面列舉了在認知需求上有明顯差異的三個題目。①有一個300mL的杯子，你如何用它來量出2100mL的水？②有一個300mL的瓷杯，一個200mL的玻璃杯和一個250mL的塑料杯。請利用上述杯子，采用不同的方法量1500mL的水。③有兩個分別為5L和3L的水壺，你怎樣用兩個水壺測出4L的水裝到一個大碗中？（你可以將水倒入碗里。）

第一個題只需要運用簡單的算法就能求解：用杯子裝7次水就可以量出2100mL水。第二題需要組合容器才能完成，學生可以找到不同的方法量出1500mL的水；然而要找出所有的解決方法，學生需要系統地處理這個問題。第三個題目更復雜，它是一個真正的非常規問題，需要對情景建立一個模型，必須通過一系列步驟才能量出4L水。

二、三個版本教科書三種類型問題分布的特點

本文主要以小學數學四年級的教科書為例進行分析。我們選擇了江蘇教育出版社的小學數學教科書 、北京師范大學出版社的小學數學教科書和人民教育出版社的小學數學教科書作為主要研究對象。

我們把每一頁的每種類型填空題、計算題和有圖片的問題作為一個分析單元。每個分析單元可以作為全班練習、小組討論及課后作業用。這樣的劃分很符合每種版本教科書教學需要，所有的教科書都有這樣的結構。

依據上述分析框架，分別對三種版本教科書中三種類型的問題進行統計，在教科書中找到一個非常規題則計數一，其他類型問題也是如此。為確保編碼的可靠性，統計過程是由兩個人分別依據分析框架獨立編碼，最后進行校正，前后兩次的校正一致性保持在95%，對編碼結果不一致的例題，經商討使其編碼結果最終達成一致。

1.三種類型問題在三個版本教科書中的分布

三個版本教科書都存在三種類型的問題（表1），常規題是每個版本教科書中所占比重最大的題，平均每冊教科書有200個常規題， 14個灰色區域題，有8個非常規題；總問題數為1334個，三個版本的常規題數合計1201個（約占90%），灰色區域題合計87個（約占7%），非常規題合計46個（約占3%）。可知非常規問題和灰色區域問題分布很少。

2.非常規問題解決題的分布比例

三個版本教科書中分析得到的非常規問題解決題比重相當小（表2）。

非常規問題解決題的分布比例從0.58%到4.85%不等。人教版上冊占有最高的比例——占總問題數的4.85%；北師大上冊占的比例最少，為0.58%；蘇教版的上下冊占有的非常規問題解決題平均在2.7%左右。

如果把灰色區域題也考慮在內，那么北師大下冊所占比重最多為12.11%，北師大上冊所占最少，為7.52%。那么三個版本教科書的問題解決題總數相差不遠，都在10%左右。可知把所有的問題解決題都考慮到，總的比率仍然相當低。

3.非常規問題解決題所處知識領域的分布

義務教育階段的數學課程安排了四個部分的內容：“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”。三種版本的教科書在這四部分內容中均涉及非常規問題，但在這四部分內容中并非均有非常規問題題。總體上看，非常規問題解決題在三個版本四個課程內容中的安排主要集中在 “數與代數”部分，而在“綜合與實踐”板塊中沒有出現一處非常規問題，因為“綜合與實踐”的學習方式是結合“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”板塊的綜合應用，所提出來的問題具有情景性、綜合性，且問題仍然是常規問題的實際應用而已。因此這里的問題并不具有非常規特性，但在我國“綜合與實踐”版塊中本應該出現最多非常規問題的。各版本均沒有很好地把非常規問題解決題延伸到 “圖形與幾何”“統計與概率”和 “綜合與實踐”三部分內容中。

三、對策與建議

1.適當把常規題轉化為灰色區域題

每本教科書的常規題占絕大部分比例，常規題常常用于概念的理解及規則與程序的掌握。灰色區域題不具備非常規的性質，但可能促進學生探究和發展數學態度，這種態度是解決非常規數學問題的前提操作。因此適當地把常規題轉化為灰色區域題，有助于幫助學生形成良好的數學態度。例如，教材中的計算題如人教版下冊第一節四則運算練習一的第一題口算題以及第五題計算題可以合編成一道灰色區域題，可以適當改編，使它變成灰色區域題。改編后的題目增加了題目難度，要讓學生自己找出五種路徑并且計算出答案，比之前直接給出算式計算結果更具有挑戰性。

2.適當把灰色區域題轉化為非常規題

新課標要求在“問題解決”這塊的總體目標上形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。但從非常規問題在各版本教科書的分布及次數來看，非常規問題在教科書中難以尋到它的蹤跡。非常規題常以多種類型出現，其中有些看來是很獨特的，然而用標準程序卻解不出來；還有的則需要有巧妙和清晰的邏輯推理。因此適當地將灰色區域題轉換為非常規題是很有必要的。例如可將蘇教版上冊第十一章練習十的第五題改編為非常規問題。

修改后：在下列魔方中用10、20、30、40、50、60這六個數各填兩次，使得這些魔方中的行列和豎列之和等于魔方中間的數，每個方格只填一個數。

3.非常規問題解決題的布局編排應適當拓展延伸

受中國傳統數學教育在小學階段重視計算的影響，各版本教材在“數與代數”領域的非常規問題的編寫更加成熟，問題數量更多，而在培養學生的空間觀念和形象思維的“空間與圖形”領域明顯較少，在培養學生的數據分析概念的“統計與概率”及培養學生的問題意識和應用意識“綜合與實踐”領域中，非常規問題的編寫更是鳳毛麟角。

為達到新課標在總目標“問題解決”維度中提出的“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識”的要求，因此，在教材各領域適當增加一些非常規題的問題，引導學生在問題解決中用多種方法解答，可發展學生的創新意識。在“綜合與實踐”領域可編寫一些綜合性的問題，有利于提高學生綜合運用所學知識提出和解決問題的能力。

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