“信號與系統”教學一題多解與創造性思維培養

摘 要：“信號與系統”是高等學校電子信息工程、通信工程、電子科學與技術、生物醫學工程等專業的重要專業基礎課，整個課程體系是用高等數學來支撐的。為了培養學生的批判性和創造性思維，實現專業教育和創新創業教育的有機融合，引入了數學教學的一題多解的方法。在該課程教學中，給出習題的條件是向細胞內施加單位階躍電流等，求出細胞膜的輸出電壓。在教師的指導下，學生設計了3種解法，并取得了成功，達到了既定的目的。

關鍵詞：信號與系統 一題多解 創造性思維 劍性思維

中圖分類號：TN91 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）04（c）-0152-03

“信號與系統”是高等學校電子信息工程、通信工程、電子科學與技術、生物醫學工程等專業的一門重要的專業基礎課，整個課程體系是用高等數學知識來支撐的。《國務院辦公廳關于深化高等學校創新創業教育改革的實施意見》在“改革教學方法和考核方式”一段中要求：“注重培養學生的批判性和創造性思維，激發創新創業靈感”[1]。那么，“信號與系統”的教學，當然要遵循這一原則。一題多解是數學教學中培養學生創造性思維（主要方式是發散思維與收斂思維相統一）和提高學習效率的關鍵方法，因此也成為“信號與系統”教學中培養學生創造性思維的重要方法。下面介紹一下此方面的教學案例。

1 一題多解與發散性思維

（1）“根據變式理論，問題解決（數學教育的核心）有三種變式拓展：一題多變、一題多解、一法多用”[2]。其中，一題多解使用的頻率最高，因而也最受重視。一題，就是給出的習題，是中心，是變式；多解，就是積極引導學生以所學的知識為基礎，克服思維定式，主動探究，不滿足于一種解法和一個答案，而從不同角度全面地看問題，向四面八方想開去，發現隱藏在條件和結果之間的一切必然聯系。再由此提出解題思路，用不同方法解決同一問題，把條件和結果之間的一切必然聯系明確地建立起來。

（2）一題多解，從思維方法上講屬于發散思維。“發散思維就是在思維過程中，充分發揮人的想象力，突破原有知識圈，打破種種習慣性思維的束縛，以思考問題為中心，從一點向四面八方想開去”[3]。它凸顯了思維的廣度，凸顯了思維的量。學生見到習題后，在教師的指導下，以此為中心，開拓思路，向四面八方想開去，找出多種解法，正好符合“發散”的特征。

（3）一題多解時需要注意以下幾點：一是要精心設計，選好例題。典型性要強，覆蓋面要寬，使用價值要大，個性反映共性程度要高，最好一道題就能解決問題。例如，“信號與系統”的內容總共可以概括為兩種系統、兩類方法、三大變換。兩種系統是指連續時間系統和離散時間系統；兩類方法是指時域分析方法和變換域分析方法；三大變換是指傅里葉變換、拉普拉斯變換和z變換。而給出的習題就一道，它涵蓋了兩種系統的1/2（連續時間系統），兩類方法的100%（時域分析方法和變換域分析方法），三大變換的2/3（傅里葉變換、拉普拉斯變換），不可謂不典型；二是要難易適當，恰到好處。“信號與系統”數學知識多，極大地豐富了課程的內容，也加大了學習的難度。因此，習題要難易適中，不可過難或過易。“過難不切合學生的實際水平，過易又不能激發學生的解題欲望。所以選題時既要兼顧差生能力水平，又要讓優生有一個思維創新的機會”[4]；三是要基礎扎實，知識面廣，這主要指學生的數學方面。“信號與系統”課程體系是用數學來支撐的，數學基礎不扎實就不能完成解題任務，更談不上一題多解了。

（4）在這里還應當注意的是，光有好的習題是不夠的，還必須運用恰當的方法，才能將一題多解落到實處，充分發揮它的效力。應記住，學生是學習的主體，一題多解主要是由學生自己完成的。不明白這一點，就會適得其反，變成了教師的一言堂和越殂代皰，學生則只有當聽眾或記錄員的份，收獲無從談起。教師也事與愿違。這方面的做法是，首先創設寬松、活躍的情境，搞群言堂，激發學生的學習興趣和求知欲望；其次教師僅作為一個“導演”或“顧問”，啟發教學，明導暗示；再次，將學生推到解決問題的前沿，讓他們大膽質疑，放飛思維，不怕錯誤，敢想敢說敢闖敢創。

（5）選題分析與求解。

在教學中選擇了既具有實用性又具有典型性的一道例題。

“向細胞內施加單位階躍電流i（t）=ε（t），會引起細胞膜電壓v（t）的變化。假設細胞膜為線性系統，其沖激響應h（t）=Ae-t/τ，其中A是常數，單位是V/s/A，τ是細胞膜的時間常數，單位是s。請計算細胞膜的電壓輸出”[5]。

教師給出習題后，引導學生進行分析，讓學生提出解題思路，最后確定3種解法。

連續線性系統的復頻域分析中，輸入信號i（t）與輸出響應v（t）之間的關系，可通過拉普拉斯變換和卷積定理，變換為系統函數H（s）與I（s）、V（s）的關系，即V（s）=H（s）×I（s）。之后對V（s）進行反變換得到v（t），答案與以上兩種解法一致。

以上3種解法，通過發散思維，挖掘、溝通了隱藏在條件和結果之間的3種必然聯系，新知露出了萌芽，并為下一步的收斂思維奠定廣度和量的基礎。“一直以來，信號與系統都是一門難學、難教的課程，學生通常反應理論性太強，抽象概念難以理解，也難以貫通復雜難懂的公式與在實際工程中應用的聯系”[6]。而經過“發散”之后，作為”信號與系統”骨架的高等數學知識在這里再也不是枯燥無味，深奧難懂，而是有血有肉，平易近人了，學生的成就感、求知欲、主動性、學習興趣和創新意識等油然而生，并為今后各科的學習開了一個好頭。同時，這樣做“減輕學生學習數學的負擔，還能提高學生學習數學的效率”[7]。

2 一題多解與收斂性思維

（1）“收斂思維也稱集中思維，就是從眾多信息中引出一個正確的答案或大家認為最好的答案的思維過程”[8]，它凸顯了思維的深度，凸顯了思維的質。一題多解，不單是指“發散”，還必須附之以收斂思維，才能完成整個創新過程。光“民主”不行，還得有“集中”。發散性思維是“民主”，收斂思維是“集中”。這如同一枚硬幣有正反面一樣，相輔相成，局限互補。發散思維是收斂思維的前提和基礎。如果沒有發散思維，各種意見和方案產生不了，無法進行比較和鑒別，收斂思維就沒有加工對象，產生不了創新成果；收斂思維是發散思維的指導和歸宿。光“發散”不“收斂”，就會眾說紛紜，莫衷一是，發散思維的結果再多也沒用，同樣產生不了創新成果。所以，發散思維與收斂思維是辨證統一的關系，不可缺少一方，只是重點隨著條件的變化而變化。所以，兩者要協同動作，交替作用，多次循環，才能不斷深化，不斷發展。道理很簡單，發散出來的各種方法，還處于分散、無系統的狀態，只有把它們集中起來，比較、分析、篩選、歸納、綜合，去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，透過現象看本質，才能讓學生明白哪些解法在本質上是一樣的，今后應該注意什么，或者從中挑選出最優的一種供大家使用，這樣才算是最終完成創新過程。這些規律性認識，使學生今后遇到同類問題時，能夠舉一反三，立即調用已有知識、經驗來解答；遇到不同類問題時，能夠觸類旁通，迅速地為他們提供參照。

需要指出的是，收斂思維一定要在發散思維之后使用，否則就是思維定式，需要克服了。

（2）在“收斂”時，首先把這3種解法集中起來，找出不同點，探索諸種解法的特殊本質，看它們的解題思路與解題方法，從中受到啟迪。

1）解題角度不同。

①解法1從時域分析角度看問題，鞏固了卷積積分知識。

②解法2從頻域分析角度看問題，鞏固了傅里葉變換與逆變換及卷積定理知識。

③解法3從復頻域分析角度看問題，鞏固了拉普拉斯變換與逆變換及卷積定理知識。

2）解題方法不同。

①解法1采用卷積積分方法求解。

②解法2采用傅里葉變換及反變換方法求解。

③解法3采用拉普拉斯變換及反變換方法求解。

以上告訴大家，每當遇到習題，可以也必須從多個角度去看，用不同的方法去解答，凡是可以一題多解的一定要多解。

3）其次還要把這3種解法集中起來，找出共同點，概括諸種解法的共同本質，產生規律性認識，再用它去指導新的解題，從一題多解走向多題一解，萬法歸一。

①三種解法都與積分有關，都是積分的不同表現形式。

②3種解法都適用于連續時間系統。

以上告訴我們，學生要在前期的數學學習中打好此方面基礎，訓練好有關技能。并且在此類系統的輸出響應的求解中，可根據具體情況至少采用其中的1種解法。

3 結語

“信號與系統”本身是一門專業基礎課，如果在教學時率由舊章，沿襲老路，勢必會使專業教育與創新創業教育各自為政、相互割裂，形成“兩張皮”現象，使創新創業教育難以融入人才培養全過程和各方面。在“信號與系統”教學中，通過一題多解的辦法，使發散思維與收斂思維相統一，培養了學生的創造性思維，提高了學生的創新能力，使創新創業教育與專業教育有機融合，相互引領，相互促進，實現雙贏。

參考文獻

[1]國務院辦公廳.國務院辦公廳關于深化高等學校創新創業教育改革的實施意見[Z].中華人民共和國中央人民政府，2015.

[2]李斯揚.初中數學教師對“一題多解”策略的態度的研究[D].上海：華東師范大學，2015.

[3]周耀烈.創造性思維與創造力開發[M].杭州：浙江科學技術出版社，2001：49.

[4]杜繼渠.對一題多解教學的反思[J].中學數學研究，2006（5）：9-13.

[5]John D.Enderle，Susan M.Blanchard，著.生物醫學工程學概論（原書第2版）[M].Joseph D.Bronzino，封洲燕，譯.北京：機械工業出版社，2010：446.

[6]許佳.生物醫學工程專業信號與系統課程教學啟示[J].現代醫藥衛生，2011，27（14）：2238-2239.

[7]鄧洪波.從“一題多解”教學中培養學生創造性思維[J].數學學習與研究，2013（11）：97.

[8]周耀烈.創造性思維與創造力開發[M].杭州：浙江科學技術出版社，2001：51.