平面曲線曲率半徑的運動學探究

摘 要：以曲線和曲面為代表的幾何特征在現代生活中隨處可見，研究者對其在現代大型建筑設計、工業生產制造、物體運動學規律等諸多領域進行了廣泛深入的探究。本文詳細分析了平面曲線曲率幾何學特征以及其對應的運動學規律，試圖從多個角度對曲線曲率問題進行全方位的解讀與探索，同時利用電腦編程求解，進一步研究了橢圓曲線在不同長短半軸比下的曲率半徑變化規律。

關鍵詞：平面曲線；曲率半徑；運動學分析；橢圓曲線曲率；程序求解

一、概述

在現今社會生活中，以曲線和曲面為代表的幾何特征處處可見。建筑設計中的直曲結合、汽車外形流線型曲面的制造加工以及各種物體的曲線運動等，都是生活中對曲線、曲面的應用。因此，在現實生活應用的基礎上對各種曲線曲面幾何特征的研究具有重要意義。其中，平面曲線的曲率半徑在數學和物理學中具有相通之處，由此又激發了我們從不同的學科角度對一個概念進行深入理解的靈感。

平面曲線在各種領域得到廣泛應用。在綜合地質勘探的編錄中，[1]地質學家利用曲率圓的某一段圓弧來近似地代表巖層的一段走向，即“以曲代直”；利用曲率半徑來編錄巖層走向變化大、有褶皺構造的坑道，并用這一編錄結果與實際情況作比較。勘測結果顯示，這種方法具有一定的實用價值。

另外，科研人員根據平面曲線曲率半徑的運動學規律制造各種機器零件。例如，數控車床加工時，常常利用刀具切割多曲率圓弧面；在數控車床上加工多曲率圓弧面工件時，[2]不同曲率圓弧交接點的坐標值、加工工藝和刀具的應用非常重要，它不僅具備加工程序的簡潔性，還會影響工件的加工質量和加工效率。在工業制造中，加工特殊管道時，也需要對刀具的曲線加工路徑以及刀具自身曲率半徑進行深入的研究，用于工廠生產。

本文系統地從數學幾何定理以及物理學物體曲線運動的角度探討了平面曲線曲率的數學物理意義，從而全面認識平面曲線的幾何特征的數學和運動學規律。然后進一步以橢圓曲線為例，探討了這一廣泛存在于天體運動以及工業曲線加工領域的特征曲線的曲率半徑變化規律，并通過數值程序的求解得到了不同位置的曲率半徑，研究了橢圓曲線在不同位置的曲率半徑大小。

二、平面曲線曲率半徑的數學求解及運動學分析

在幾何學中，用曲率半徑來描述曲線的彎曲程度。如圖 1（a）所示，設曲線S是光滑連續可導的，曲線上處處都有切線，而且切線隨著切點的移動而連續變化，在圖示的xOy坐標系中的曲線方程為y=y（x）。對于曲線上的微弧段AB，其對應圓的圓心為O'點，則OA或OB的長度即為曲線上該點待求的曲率半徑，微弧段AB的長度為ds，對應的圓心角為dα，則有曲線上該點對應的曲率半徑為ρ=|—|，其中易得微弧段的圓心角為dα=—dx，微弧段的長度為ds=√1+y'2dx。故可得曲線S在該微弧段處的曲率半徑如式①所示：

平面曲線作為一種運動軌跡在生活中也處處可見，從運動曲線S處物理學分析如圖 1（b）所示，某物體的運動軌跡為圖中的曲線S，曲線運動中A點處的速度方向為該處的切線方向，物體運動到A點時的受力為F，將力F在切線方向和法線方向分解為Fn與Ft，其中，Fn的作用效果改變物體運動的方向，Ft改變物體運動的速度大小。

特別地，物體在該處速度方向的變化反映了曲線在該處的彎曲程度，Fn對應于該處的一個瞬時圓周運動，有Fn=—。

故由上分析可得，在物理運動學中，對曲線S處的曲率半徑求解式如下式：

三、橢圓曲線的曲率半徑分析及程序求解

橢圓曲線作為一種特殊的平面曲線，在天體運動和工業機械加工中隨處出現。一方面，在對天體物體的研究中，絕大多數的天體運動軌跡可以合理地簡化為橢圓運動，因此對橢圓運動的幾何特性進行研究在探索宇宙科學中發揮著重要作用；另一方面，在工業生產加工制造橢圓形曲面或者孔洞時，常常需要選擇合理半徑的刀具，這是因為如果刀具尺寸過大，則無法加工生產出所需要的橢圓結構，無法保證加工精度；而當刀具尺寸過小時，加工效率則受到較大的影響。

因此，對待加工的橢圓空隙各處曲率半徑的研究在選取最為合適大小刀具時顯得尤為重要。

如前文中所述，對橢圓曲線曲率半徑的研究一方面可以通過式①進行數學求解，另一方面也可以通過式②進行運動學求解。

在此則從運動學角度對橢圓曲線曲率半徑進行分析。橢圓運動一方面可以看作天體運動的軌跡，在焦點處的天體對橢圓軌道上的天體萬有引力的作用使得其做橢圓運動；另一方面可以從運動的分解與合成將其可以看作在兩個維度上的簡諧振動的合成，如圖 2所示。根據橢圓的參數方程可以將橢圓曲線軌跡理解為在x方向和y方向上的簡諧振動的合成。設在橢圓曲線上某點坐標為（x，y），則從兩個簡諧振動合成的角度可得：x=a·cosωt，y=b·sinωt，式中的ω和t分別為簡諧振動的角頻率和運動時間。則可得在橢圓運動中所對應的回復力如下式③所示：

Fx=mx=-mω2acosωt

Fy=my=-mω2bcosωt

運動中對應的速度為：

vx=x=-aωsinωt

vy=y=-bωcosωt

因此可以得到在橢圓曲線運動中每一時刻對應的速度vi（vx，vy）和受力Fi（Fx，Fy）。

由式②可知，當前時刻曲線曲率半徑由其對應的速度和向心力決定，即ρ=—，其中每一時刻的F⊥v可以表示為下式：

為了進一步研究橢圓曲線曲率半徑ρ在不同位置的變化，取橢圓的半短軸b為1個單位長度，分別取橢圓曲線的長半軸a為1、2、3、4個單位長度進行計算機求解。通過計算機程序求解得到如圖 2（b）所示的結果。其中可以得到在從A點到B點變化過程中，橢圓曲線曲率半徑越來越大，而且曲率半徑的變化率先增大后減小。此外，數值求解結果在橢圓曲線的長半軸端點A和短半軸端點B的曲率半徑結果與理論值—和— 一致。

四、總結

平面曲線曲率半徑的運動規律的應用在生活中隨處可見。在科學研究領域，科學家利用這個規律來進行如天體運行、衛星軌道勘測等動態研究；在制造業中，大多企業則利用此規律確定刀具切割方式來切割數據插孔和管道等日常必需品的形狀，從而將曲率半徑的演化規律運用于實際中。

本文詳細分析了平面曲線曲率半徑的運動學規律，同時通過計算機程序求解，進一步研究了不同長短半軸比下的橢圓曲線曲率半徑的演化規律，橢圓曲線上從長半軸端點到短半軸端點演化的過程中，曲率半徑會逐漸增大，并在兩端點與理論值吻合一致。

參考文獻：

[1]侯劍英.淺談數控車床加工多曲率圓弧面的方法[J].科學咨詢（科技·管理），2011，（12）：91-92.

[2]王文濤.從運動學角度求幾種典型曲線運動的曲率半徑[J].物理教師，2013，（4）.

[3]王寶勤.平面曲線與其曲率半徑整分點軌跡的關系[J].新疆師范大學學報（哲學社會科學版）， 1980，（00）：131-144.