淺談復合函數的求導運算

摘 要：分析多個復合函數的復合過程用對應法則分析方法，能快速且準確地分析出多個復合函數的復合過程，從而準確求導。這種找對應法則的分析方法對大學生學習高等數學相關內容能起到相當重要的作用，使教師取得令人滿意的教學效果。

關鍵詞：復合函數；復合過程；對應法則；變量；導數

中圖分類號：013 文獻標識碼：B 收稿日期：2016-01-05

一、復合函數的定義

高等數學教材對復合函數是這樣定義的：設y=f （u），其中u=φ（x），且φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定義域內，則稱y=f [φ（x）]為x的復合函數，u稱為中間變量。對于復合函數復合過程的分析，分析只有一個中間變量的復合函數很簡單，難度大的是如何正確分析有多個中間變量的多重復合函數的復合過程。對于多重復合函數的復合過程的分析，關鍵要準確找出多重復合函數的中間變量的包含關系，關于這一點，教材中沒有給出明確具體的分析思路，不少學生上完這節內容，腦子里還是模模糊糊的，似懂非懂，不能完全理解。實際上，復合函數的復合過程有其內在的規律，即其自變量、因變量和中間變量之間互相牽制、相互制約，并呈相互依賴關系。了解了復合函數中各變量之間的這種特點，正確分析復合函數的復合過程就變得輕而易舉。以下通過分析復合函數各變量之間的依賴制約關系，來探討復合函數復合過程的分析方法。

二、復合函數的分解過程

復合函數始終是由多個基本初等函數構成，如函數的“三要素”（定義域、值域、對應法則）。我們知道，只要準確找出復合函數中的對應法則，準確分析復合函數的復合關系是很容易的。分析復合函數復合關系的一般方法是：從外向里，找準最外面的基本初等函數的對應法則，一層一層向里推進，直至找到自變量的基本函數的對應法則為止。例如：y=tan2（1+2x2），可以先轉化成y=[tan（1+2x2）]2，最外層的應該是冪函數的平方，即可設為y=u2，u=tan（1+2x2），對于u=tan（1+2x2），最外層的應該是三角函數中的正切函數，即可設為u=tanφ，φ=1+2x2，此時φ表示的函數是x的基本初等函數，到此分析完成。從以上分解過程來看，這個復合函數分解如下。

本文淺析了多個復合函數的對應法則分析方法，教學實踐證明，用對應法則分析復合過程的方法是行得通的，能幫助剛接觸求導運算的大一新生更快、更準確地找到函數的導數，更好地理解自變量和函數的關系。

參考文獻：

[1]畢燕麗.高等數學[M].天津：天津大學出版社，2008.

[2]趙瑛.淺談復合函數的求導法則[J].電大理工，2008，（4）：73-74.