階小于16的有限群的分類(lèi)

摘 要：本文主要應(yīng)用群論的初等技巧和擴(kuò)張理論，通過(guò)計(jì)算，對(duì)階小于16的有限群做了完全分類(lèi)。

關(guān)鍵詞：Sylow 子群 群擴(kuò)張

代數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題之一就是決定由某些公理定義的代數(shù)系有多少互不同構(gòu)的類(lèi)型。即所謂的同構(gòu)分類(lèi)問(wèn)題。對(duì)于很多代數(shù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)得到了解決。例如 Wedderburn 的環(huán)的構(gòu)造定理，F(xiàn)robenius 關(guān)于實(shí)數(shù)域上有限維可除袋鼠的分類(lèi)定理，Cartan 關(guān)于復(fù)數(shù)域上單Lie代數(shù)的分類(lèi)定理等等。最簡(jiǎn)單的，在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候我們知道，任意域上給定維數(shù)的線性空間都彼此同構(gòu)，這實(shí)際上就是域上有限維線性空間的同構(gòu)分類(lèi)定理。它告訴我們，從同構(gòu)的意義上來(lái)講，任意域上給定位數(shù) n 的線性空間只有一個(gè)。又比如說(shuō)，我們下面的引理3給出了有限和無(wú)限循環(huán)群的同構(gòu)分類(lèi)定理。并且解決了有限交換群的同構(gòu)分類(lèi)問(wèn)題，即證明了每個(gè)交換群都可以分解成若干有限循環(huán)群的直積，并且其基元素的階被該群唯一確定，因此我們可以很容易的新出任意給定n階有限交換群的全部的互不同構(gòu)的類(lèi)型。又比如我們的引理5，我們隊(duì)任意的一個(gè)素?cái)?shù)p，給出了所有階至多p3的p-群的互不同構(gòu)的類(lèi)型。這些都可作為解決同構(gòu)分類(lèi)成功的例子。基于同樣的想法，A.Cayley 在給出了抽象群的公理化定義之后，于1878年明確地提出了對(duì)于一般的n階有限群的同構(gòu)分類(lèi)問(wèn)題。和循環(huán)群以及交換群的情形迥然不同，人們發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題是驚人的復(fù)雜和困難。這對(duì)群來(lái)說(shuō)，就是對(duì)任意的正整數(shù)n，決定n階群所有互不同構(gòu)的類(lèi)型。本文應(yīng)用了群的初等技巧和擴(kuò)張理論，給出了階小于16的群G的完全分類(lèi)。若無(wú)特殊說(shuō)明，本文所涉及的概念以及符號(hào)均取自文獻(xiàn)。

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