強化中學生數學思維訓練的幾種方法

摘要： 數學思維的開發和培養是中學教學的重要一環，本文通過從教學實踐出發，設計教學方案，不斷完善教學方法的數學教學模式，采用實際教學達到開發學生智力等幾個方面闡述了數學思維訓練的方法及其達到的教學成果。

關鍵詞： 數學思維 教學 訓練

數學思維訓練是開發學生智力，增加學生的大腦功能的重要途徑，但是在如何進行數學思維訓練上，目前還存在兩個錯誤的傾向，其一，超出學生所接受的水平，過早地進行理論型思維訓練；其二，局限于少數的思維內容，重復地進行經驗型的思維訓練。這兩種錯誤傾向都違背了學生數學思維的發展規律，使學生的智力平衡受到傷害，抑制智力發展［１］［２］。為解決上述問題，教師應該按照教材，根據學生實際制作訓練題。現就教學實踐期間所獲得的知識和經驗談一下我的觀點。

一、從教學實際出發

1.深入鉆研教材，排出每章節的思維訓練點。

在現行的教材中，小節的內容往往通過觀察、操作、思考等引入教學概念，再通過例題引導學生應用數學概念解題。前者是知識的發生過程，這兩個過程隱含著數學思維［３］。教師應該努力尋求適當的教學方式，尋找或制作訓練題（稱訓練點），使學生在學習數學知識的同時，也學到一些數學思維知識。例如，在初一年級上學期里，有一元一次方程等內容，教師可排出“歸納法”、“類比法”、“演繹法”等思維訓練點。

2.深入了解學生的實際，找出學生的思維障礙。

學生的作業和練習是數學思維軌跡的反映，教師經常抽查學生的作業，好、中、差各個層次都有。如果發現解題錯誤，便就其訓練，能及時排除學生的思維障礙。

在教學實踐中遇到這樣一題：

已知：如果在圓O中，MN為直徑，P是MN上一點，AC，BD是過點P的兩條弦，∠APM=∠BPM。

求證：AP=BP。

證明：連接AO，BO，則AO=BO。

∴∠APO=∠OPB。

在△OPB和△OPA中

∵BO=AO，OP=OP，∠APO=∠OPB

∴△OPA≌△OPB

∴AP=BP

顯然，這里所用的全等三角形的判定條件是錯誤的。究其原因，是學生臆造大前提進行演繹，對推理缺乏足夠的認識。因此，教師要在初一的演繹法項目訓練中便設計糾正臆造大前提進行推理的錯誤。

3.按照中學生各年齡段數學思維發展的特征安排各年級的思維訓練點。

數學教育的實踐證明，數學思維訓練必須遵守循序漸進的原則，即必須遵循數學思維發展的一般規律，所有跳躍或顛倒的思維順序來進行思維訓練都是不利的［４］。教師根據排出的每章節思維訓練點和學習工作中找出思維障礙，再按照中學生各年齡段數學思維發展的特征，進行綜合考慮，提煉出各年級的思維訓練點。在初中低年級給出描述性的概念，然后逐步給出嚴格的定義，由低級向高級逐步展開。如演繹法在初一年級，提出“演繹法和歸納法的關系”。

根據以上的想法，按照初一年級數學思維發展的特征，前面所述的初一學期的思維訓練點應該具體表述為：“找共同點的方法（歸納法）”，“由相同或相似點進行推理的方法（類比法）”，“由前提引出結論的方法（演繹法）”等。

二、設計數學方案，運用最有效的教育手段進行教學

1.數學教學總是自覺或不自覺、顯性或隱性地進行數學思維訓練，但是往往出現如下現象：重思維的嚴謹性，輕思維的靈活性；重收斂思維能力，輕發散思維能力；重演繹法，輕歸納法，等等。這些所輕視的正是創造思維所需要的，顯然影響了創造性思維的培養［５］。

事實上，解決一些綜合性和應用性較強的數學題目時，都有可能涉及數學思維的多個方面，需要更多的創造性，數學思維的某個方面的缺陷都可能導致解題的“難產”。

看下面的一道數學題：

某地現在耕地在1000公頃，規定10年后糧食單產比現在增加22%，人均糧食占有量比現在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多能減少多少公頃？（精確到1公頃）（糧食單產=總產量/耕地面積，人均糧食占有量=總產量/總人口數）這是一道1996年的全國高考數學題，其涉及的數學知識不多，而且給出公式，數量關系極其明確。從所涉及的數學知識點看，是每個學生都能做得出的，但是這道題目很多考生沒有做好。原因應該從數學思維方面去尋找，主要缺乏抽象思維能力、綜合能力（關系理清、整合不起來）和聯想能力（用二項式定理近似計算）。后來，教師在假設的基礎，用列表法，讓學生從縱、橫兩方面去整合，學生很快就理解了。

假設：耕地每年平均至少只能減少公頃，該地區現有人口為P人，糧食單產M噸/公頃。

2.《訓練點》中，每一個思維訓練項目按照訓練點，是便于各個年級，甚至每一節課有側重地進行訓練，它與整個訓練項目的訓練有著密切的關系，它們是點與面的關系，絕對不能分割開來。

在“一元一次不等式的解法”一節里，教師發現有的學生在求出不等式組里每個不等式解以后，就把它們的解寫出來。為了糾正這個錯誤，教師應在這一節里安排“同一律”作為重點訓練，引導學生把“求同時滿足兩個不等式的未知數的值”作為解的目標；始終如一，不能改變。然而，同一律又與矛盾律、排中律、充足理由律構成形式邏輯的基本功規律，它們既有聯系又有區別，都是正確的思維所必須遵循的規律，是教師思維訓練中必須進行的。可是，教師不能在“一元一次不等式的解法”一節里把形式邏輯的四條基本規律一貫而下，何況形式邏輯的基本規律對于初中學生來說接受起來有一些難度。因此，教師應把難點分散，初一年級提出同一律和矛盾律，初二年級提出排中律、充足理由律，到初三年級才提出形式邏輯的基本規律概念。這樣，由點到面，逐步推開，學生是容易接受的。

三、在教學實踐中不斷完善教學方法

1.在課堂教學中，教師應堅持以教學思維訓練為主線，以數學知識為載體進行訓練。

在每一節里，都有“思維訓練點”、“訓練內容”和“習題”。在“訓練內容里”，一般先用簡單的例子來介紹“思維訓練點”的意義，這個例子可以是數學知識，也可以是以學生容易理解的其他知識，接著安排這一節數學知識為重點的內容的例題，這些例題由淺入深、由概念到應用、由單一到綜合逐步展開；緊接著就是“思維建議”或“思維簡釋”，“思維建議”放在“例題”之后、“解”之前，主動啟發學生思維，應該想什么？怎么想？“思維簡釋”放在“解”之后，主要幫助學生把解數學題的經驗上升到思維知識來認識，為什么這樣做？這種做法能不能推廣？“思維建議”或“思維簡釋”通常用“提問”的形式，以便激發學生思維；最后是“訓練題”，讓學生把能學到的數學知識應用于新的問題。

2.在課堂教學中，教師還應施行“開發最近發展區”、“疏導情緒”兩個教學原則。

（1）“開發最近發展區”原則。在解決數學課題時，先讓學生自己做，再由教師通過“思維建議”或教師講解，或師生討論，培養學生思維操作的自覺性，使學生清晰地認識到自己的認識過程，并由口頭表達、筆頭作業、總結等途徑“物化”出來，使無形的東西有形化。為此，教師可從下面三個方面進行引導：①引導學生有效運用策略和制定計劃；②引導學生意識到自己思維和行為的有效性，認識自己怎么樣做到某件事，為什么要做某件事。

（2）“疏導情緒”原則。增進智力的同時必須提高情緒的穩定性，教師在進行思維訓練和培養解決問題的能力同時，要培養學生的意志、興趣、動機等品格，尤其當學生在求解那些有困難的問題時，要引導他們學會忍耐、刻苦，贊賞每一個微小的進步，使學生在課堂里嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂。

以上兩個教學原則，能充分發揮學生的主體作用，讓學生充分參與、體驗，以促進思維知識和數學知識的內化，培養學生的數學思維和數學能力。

3.評價教學成果。

制作的訓練點未必都是最好的，還必須經過實踐的檢驗，作出評價。評價要從科學性、可操作性和有效性三方面來進行。

科學性是指訓練點設置的目標明確，從屬于其相應的訓練項目，言之有理，具有邏輯性和嚴密性。

可操作性是指訓練點能被師生接受，并按照一定的程序和要求進行活動。

有效性是指通過訓練點的訓練，能達到預期目的，確實排出思維障礙，提高思維活動水平。

教師應通過評價，不斷調整教學設計。為了使教學方案在教學活動中發揮最優的作用，教師應該不斷地進行評價。

參考文獻：

［1］張華.課堂與教學論［M］.上海教育出版社，2000：112-115.

［2］陳敦元.數學思維訓練策略［J］.廣西教育，2003：32，38.

［3］孫孔懿.素質教育概論［M］.人民教育出版社，2001：88-92.

［4］汪瑩.素質教育實踐與研究［M］.華東大學出版社，2001：72-80.

［5］蔣愛國.加強數學思維訓練是素質教育的有效途徑［J］.零陵學院學報，2003.5：179-180.

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