時鐘問題與解答

時鐘上的分針、時針、秒針的轉動都是勻速的，但速度各有不同，分針要越過時針、秒針要越過分針與時針而轉動。加之有些鐘表計時的誤差等，這就形成了十分有趣的時鐘問題。本文介紹三類典型問題及其解答，說明處理這些問題的方法。

一、時針與分針的角度問題

問題一 從中午12點鐘開始，幾分鐘后秒針每次等分針和時針所成的角？

解：1分鐘內，秒針走鐘面一周360°分針走鐘面周角的6°，時針走鐘面周角的

·6°，設x分鐘時（1﹤x﹤2）秒針等分時針與分針所成的角，則：分針與12點線所成的角為6°·x，時針與12點線所成的角為

1

12

·6°x，秒針與12點線所成的角為360°（x-1）。根據題意，有

1

12

（6°x+

1

12

·6°x）=360°（x-1）。解之，得x=1

12

1427

（分）。

說明：①在同一時間內，秒針、分針、時針的速度之比為60：1：1/12；②“12點線”這一位置，是處理許多方面問題的參照物。

問題二 某人在室內明亮的陽光下看報。看報前，他看了一下手表，發現時針與分針異向處在一條直線上。看完報后，他又看了一下手表，分針和時針恰好又異向處在一條直線上。在此期間他還聽到隔壁臺鐘（每半小時報時一次）一共敲了三下。試問，他從什么時候開始看報的，一共看了多長時間？

解：分針每小時轉一周，時針每小時轉

1

12

周。從12點鐘開始，分針與時針第一次成異向直線的時間t1（小時）滿足（1-

1

12

）t1=

1

2

。解之得t1=6/11（小時）。即12時32分43

7

11

秒時，分針

與時針第一次異向成一直線（當然是12點后1）。

用同樣方法可求得分針與時針第二次成異向直線的時間t2=18/11（小時），即1時38分10

10

11

秒，第三次時間為t3=30/11（小時），即2時43分38

2

11

秒，…顯然前后兩次成異向直線的時間間隔為12/11小時。臺鐘共報時兩次，一共敲三下，則開始閱報必定在一時后，結束閱報在三點之前。即看報時間是從下午1時38分10

10

11

秒開始，一共看了1時5分27

3

11

秒。

說明：①時間確定為“從12點開始”，是解答這一問題的前提。②靈活運用“兩個物體的速度差與時間的乘積等于兩物體之間的距離”來確定三針每次成直線的時刻，是處理這類問題的常用方法。

問題三（美國數學競賽題）如果現在時間是10：00與11：00之間，而6分鐘后，鐘表的分針將會剛好同3分鐘前的時針的方向相反。問現在的準確時間是多少？

解：設x為現在的分鐘數，又設A和B分別為表面上分針在6分鐘后、時針在3分鐘前的位置，O為表面中心，C和D分別為表面上12和6的刻度。如果以分鐘為單位來度量，則∠AOC的大小是x+6，∠BOD的大小是20+（x-3）/12。顯然∠AOC=∠BOD，于是有方程x+6=20+（x-3）/12。解之得x=15，即現在的時間為10：15。

說明：用“分鐘”做角的度量單位，可使三針角度得到簡捷處理。

二、時鐘的快慢問題

問題四 一間工廠中一個普通的鐘走慢了，使得在一般鐘面位置上，每69分鐘分針經過時針，超時工資要比原有工資多半倍。一個按照那個慢鐘做足八小時、每小時1元的工人應收取的額外工資是多少？

解：顯然，對一個準確的鐘而言，分針經過時針所需時間比60分鐘會長一些。分針每分鐘轉6°，時針每分鐘轉（

1

2

）°。假設開始時兩針重合，x分鐘后，兩針分別轉了6x和

1

2

x度，

當6x-360=

1

2

x，即x=720/11分鐘

時，它們會再重合在一起。于是，慢鐘所指示的時間與真實的時間比是

720/11

269

=

240

253

。當慢鐘經歷八小時，真實的時

間t可得自480/t=240/253。解得：t=506=480+26。于是，在八小時的錯誤記錄上，有26分鐘的超時工作。不難算出工人應得超時工資0.43元。

說明：處理時鐘的快慢問題，還可利用快慢三針在同一時間內的速度比與12點線所成的角度來解決。

三、時針與分針位置互換問題

問題五 當一個鐘的分針和時針準確地指示某個時刻時，如果把分針變為時針、時針變為分針，一般說來，便不能準確地指示一個時刻了。例如三點半鐘時，如果把分針和時針互換，便不能準確地指示一個時刻：如果說它是六點整，那么分針應指著12才對；如果說它是六時十七分半，則時針應指在6和7之間某處才對。然而有的時候時針與分針的位置可以互換而仍能正確地表示某個時刻。例如當時針與分針重疊時。試問，除兩針重疊外，這種情況共有多少？是在什么時候？

解：時針與分針互換位置，仍能準確地表示某個時刻，可理解為時針繼續走至分針位置時，分針恰好到達時針原來的位置。我們把鐘面一周分成60格。設x為時針走的格數，m為分鐘走的圈數，y為分針扣除整圈繞行次數后從零計起的格數。因為時針走一格，分針走十二格，于是有12x=60m+y。①顯然y﹤60。當時針繼續走至分針位置時，分針須繞行若干圈（設為m）后停到時針原來的位置。于是又有12y=60n+x ②這里m，n﹤12，無妨假設m≦n.由①得y=12x-60m ③把③代入②得：12（12x-60m）=60n+x。解這個方程得x=

720

143

m+

60

143

n④ 當m=n時，可得

x=y，即兩針重疊。當m≠n時，根據m、n作可取值列表如下（略）：由此可知，除兩針重合外符合題目要求的答案共有（11+1）×11/2=66個，每次取m、n的一對對應值代入④，即可求得x，進而求出兩針互換前后所代表的兩個時刻，例如當m=3，n=6時，短針在x=

720

143

×3+

60

143

×6=17

89

143

（格）。化成相應

的時間為3點31分28

16

143

秒，當兩針對換后，短針在y=12x-60m=31

67

143

（格）化成相應的時間為6點17分37

16

143

秒，因此在3點31分28秒時將

長短針互換后指示的明間為6時17分37

16

143

秒。

說明：此題中x=y時，可變為在短針繞鐘面一周的過程中兩針重合的次數有幾？另外此題中我們限制n≧m，如果 n﹤m又是什么情況呢？讀讀者思考。