分形維數下的碾壓土多孔介質三場耦合及comsol數值模擬

【摘要】應用分形維數理論，給出碾壓土多孔介質的三場耦合數學模型，該模型應用物質守恒定律、力學平衡與能量守恒，這三個方程，相互耦合組成。其中為引入Heaviside階梯函數，將凍土與未凍土參數結合在一起，然后采用COMSOL Multiphysics 軟件進行，溫度場，水分場與應力場三場耦合數值模擬；

【關鍵詞】分形維數；三場耦合；COMSOL Multiphysics；數值模擬

1、引言

寒區碾壓土是一種特殊土體，與常規土體比較，它的力學性質符合人們一定的預期構想。所以能采用多孔介質理論中的分形維數理論進行描述。寒區碾壓土中的凍脹融沉等病害主要是由于，土體內水分的遷移與相變。但參數間復雜的耦合關系，使一般計算的精度較低。

本文在傳統的三場耦合的基礎上，首先建立一組以分形維數理論為基礎的多場耦合方程，并在相變區考慮heaviside函數，運用comsol軟件對三場耦合進行求解。Comsol 軟件在求解時會先同一微分方程組，在一場中實現全耦合求解，這種求解方式比松散求解更精確。

2、分形維數理論在碾壓凍土中的應用

2.1 碾壓土的分形模型

從微觀的角度來講，碾壓土是多孔介質由大小不一的顆粒逐漸堆積而成，這與分形的構造過程十分相似，因此可用分形模型進行定量分析。本文采用Menger 海綿模型來模擬碾壓土多空介質材料的孔隙特征。得到menger海綿分形維數為：D=ln（m3-n）/ln m；帶入可得，孔隙度與分形維數的關系為：

2.2 基于分形理論下，碾壓土的滲透率模型

Darcy流體的數學表達式為：；達西定律中K值保持不變，表明滲透率K只與多孔介質本身的結構特性有關而與單項牛頓流體的特性無關。但曾有實驗給出Fanning 摩擦系數f對雷諾數Re的關系曲線由圖可知，f=c/Re帶入達西定律中可得 與式 ，最終可知滲透率 。

3、凍土水熱耦合求解微分方程組

根據原始傅立葉熱傳導方程，結合凍土特性，將相變潛熱作為熱源處理，得到溫度場控制方程， 土體中水分的遷移 主要采用達西定律中的 Richards 方程，應力場主要采用彈性力學遠離，應滿足平衡方程、物理方程、幾何方程、應力邊界條件及位移邊界條件等，最后化簡得到下列偏微分方程：

其中u：土壤溫度 ℃； C：容積熱容量 kJ/m·℃； L：冰水的相變潛熱 ，取334.5kJ/kg；

：土水勢； 分析研究時一般把基質勢、溶質勢都看成土水壓力所以水土勢簡化為： 為轉換系數，其中水壓力可以用Clapeyron方程求解。

4、方程的化簡及求解

4.1 Heaviside階梯函數

建立土體凍結過程的三場耦合模型，可以避免在凍土區與非凍土區建立兩套方程及其動態銜接方程的困難。階梯函數Heaviside的表達式為

最后得到整個區域內未凍水體積含量與溫度的關系：

導熱系數可表示成 ；其它參數可以類似得到。

5、基于comsol 軟件的水熱力耦合數值模型

5.2 溫度場模塊的添加

本文選取梯形渠道作為分析對象。熱力學模塊主要選用多孔介質傳熱模塊：該模塊的傳熱方式采用的是對流熱通量傳熱。渠道中溫度場的變化量是由于外界溫度場的改變。

1）上表面邊界溫度，根據前人的研究，可以簡化統一表示為如下三角函數

t為時間（h）

兩側邊界距離足夠遠，可以認為是絕緣熱，沒有熱交換。3）下邊界考慮地熱影響，底部采取恒溫T=276.15K。在模塊中，填入參數，模塊中填入的參數，都是引入Heaviside函數后的參數。經過三個周期（三年）后，渠道溫度場趨向穩定，圖中顯示了溫度場的等溫線圖。渠道表面的溫度變化明顯，受外部影響較大。

5.2 水分場，與應力場模塊的添加

水分場模塊，選擇多孔介質和地下水流中的 Richard方程模塊，應力場則選擇多孔彈性材料。 結果可以發現垂直向最大位移約0.01m。兩側位移稍微小一些，在經過三個凍融循環經過之后，逐漸趨于穩定，不會在發生嚴重的變形之類的。

本文主要依靠分形理論來描述碾壓土的孔隙結構特征，并給出了碾壓土多孔介質滲透率與分形維數之間的函數關系式子。結合三場耦合模型，該模型由三個物理方程相互耦合組成。耦合過程中將分形維數得到的結論應用于其中，簡化了實驗成本，增加了效率。

以comsol軟件為基礎了，對本文的數學模型就行了全耦合求解，實現了溫度場、水分場、應變場三場的耦合，避免了松散耦合帶來的誤差。計算時，未考慮外界荷載，在計算中所產生的應力、應變、位移都是由于凍融產生的。

參考文獻：

[1]安元. “襯砌渠道凍融過程溫度場數值模擬.” 吉林水利 5（2014）：14-17.