破解初中幾何推理困難的多種思路

摘 要：幾何教學中十分重視邏輯推理論證能力的培養，然而當前初中生的培養過程中存在一些錯誤現象，本文指出存在的問題和成因，并提出對初中生進行幾何邏輯推理知識培養的幾點看法。

關鍵詞：初中生； 幾何； 邏輯推理； 培養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（20156）01-014-002

初中數學新課標中始終是將幾何推理證明作為初中數學教與學的一個重要內容，幾何推理題是中考必考題型，考查知識全面，綜合性強，它把幾何知識與代數知識有機結合起來，滲透數形結合思想，重在考查分析、邏輯思維能力。其難點在于如何運用眾多定義、定理尋找證明思路，因此，激發學生學習幾何的興趣，為學生構建從內容到形式，從題設到結論的“橋梁”就顯得十分必要。[1]

為此，探索培養學生幾何推理能力可以從以下幾點入手：

第一，抓好幾何新課“節前語”，創設情境，使生硬陌生的幾何知識與生活實際聯系起來，降低學習難度。

第二，教學中創設機會，讓學生動手，親身經歷發現、總結、提煉的過程，既培養學生動手實踐能力，同時引起學生學習興趣。

第三，歸納總結涉及到的公理、定理尤其是基本書寫，精心設計習題，重視幾何書寫的格式要求，培養學生邏輯思維能力。

一、創設情境，激發學習興趣

對于初一學生來說，任何一個新知識的學習首先具有天然的新鮮感，“興趣是學習最好的老師”，在新教材的編寫中已經出現了“情境創設”的概念，利用生活實例，創設情境，設置疑障，鼓勵學生大膽猜測，激發學生求知欲，不失為一種調動學生學習積極性的策略。如學習全等三角形中可以引用一道經典例題創設情境：

例1：如何判斷一塊形狀為三角形的玻璃，不小心打碎后成了三塊，一塊只保留了一個角，一塊保留了兩個角，中間一塊沒有完整的角和邊，重新配時只需要帶哪一塊就可以了？

本情境的設置就是為了利用與生活聯系緊密的事例往往令學習氣氛活躍，促使學生更快的進入學習狀態。

情境教學注重“情感”，又提倡“學以致用”，數學教學也應以訓練學生能力為手段，貫穿實踐性，把現在的學習和未來的應用聯系起來，并注重學生的應用操作和能力培養。

再如學習“相似三角形的應用”時，課前可以介紹金字塔高度測量的典故。古希臘哲學家泰勒斯測量金字塔高度，在當時科技落后的條件下是如何達到測量高度的目的呢？教師因勢利導引入相似三角形知識應用的學習，學完新課后，再回過頭來思考泰勒斯的方法，學生恍然大悟。用一個持續的問題情境貫穿于整個課堂教學，激發了學生的思維，同時也培養了學生應用數學知識解決設計問題的意識。

二、動手操作，通過親手的操作提高學生對幾何圖形的感性認識

新課標指出：幾何教學中要培養學生的識圖能力、畫圖能力、幾何語言及符號的轉換能力和推理能力，為今后幾何的學習打好基礎。而動手操作，可以提高學生對幾何圖形的感性認識，因此我們在教學中要重視培養學生正確作圖，并用語言加以表達的能力，讓學生深刻理解基本圖形。如給學生的一道數學題：

例2：如圖所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∠A=50°，求∠BDC的度數。

首先教師讓學生自己畫圖。往往圖1的情況會比較輕松得到。當學生正在為求出答案而高興時，開始提問學生：如果把兩條內角平分線換做三角形的兩個外角的平分線，那么它們相交而成的角的度數如何來求呢？學生再畫圖2。學生通過開拓性的多種形式開始思維活躍。此時再做提問，如果一個內角的平分線和一個外角的平分線相交，那又是什么情況呢？于是則有了圖3。

三、訓練幾何語言，培養邏輯推理能力

幾何語言和幾何概念是理解題目轉化圖形語言，進而展開邏輯推理的前提。首先培養學生學會劃分幾何命題的“題設”和“結論”。一個命題中，題設就是已知條件，即被判斷的對象，結論就是由已知條件判斷出來的結果，也就是“求證”部分，在教學中，要在平時不斷的訓練中加強學生對幾何命題的理解。其次，要培養學生將文字敘述的命題改寫成數學式子并畫出圖形的能力。主要步驟如下：先按命題題意，畫出相應的幾何圖形，并標注字母。然后根據命題題意，結合相應圖形，將題設與結論用數學符號或數學式子具體化，即具體地寫出“已知”和“求證”。

例3：求證：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

已知：如圖OC是∠AOB的平分線P為OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E。

求證：PD=PE

而對于初一剛開始學習幾何的學生，教師還要注意加強幾何符號語言的培養與訓練。

例4：學習證明兩直線的特殊關系中用式子表示下列語句：

因為∠1和∠2相等，根據“內錯角相等，兩直線平行”，所以AB和EF平行。

用幾何語言表示為∵∠1=∠2（已知）

∴AB//EF（內錯角相等，兩直線平行）

學習幾何書寫的過程中，往往初學的同學對書寫一竅不通，書寫不規范。這類同學的作業往往令教師批改苦不堪言。以七上學生剛接觸角平分線及線段的中點為例，本節內容是初一學生第一次系統接觸規范的幾何書寫，此時就應注重學生的書寫格式。分析課堂練習及學生作業中出現的錯誤情況，可以發現書寫不規范的主要原因是學生急于得出結論而忘記寫出這個結論的理由。經過點撥，同學們都意識到原來幾何題的書寫也不難，應充分利用題目中的條件，結合圖形，對應地寫出結論。

此外，對于初學幾何的學生，可用填充形式來訓練學生證題的書寫格式和邏輯推理過程，使書寫規范，推理有理有據。

例5：請在下面題目的證明中的括號內，填入適當的理由。

已知：如圖AD//BC，∠BAD=∠BCD

求證：AB//CD

四、整理歸納比較，夯實知識基礎，改進認知結構

數學是一門理科課程，知識的形成有一定的規律和聯系，為了讓學生將知識學活，首先教師要經常引導學生進行歸納比較，以使學生將其納入已有的知識結構中，為幾何邏輯推理能力的提升奠定堅實的基礎。[2]

初中教學中，教師應經常引導學生對知識體系進行梳理，幫助學生逐步完善幾何知識結構，使他們將小的知識點聯系起來，形成體系。教學中要善于引導學生歸納方法，例如，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL。

下面這題考查梯形、全等三角形的判定與性質及等腰直角三角形的知識，學生們在腦海中形成一個知識網絡之后，要靈活運用。

例6：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=90°，AB=BD，在BC上截取BE，使BE=BA，過點B作BF⊥BC于B，交AD于點F.連接AE，交BD于點G，交BF于點H。

（1）已知AD=4，CD=2，求sin∠BCD的值；

（2）求證：BH+CD=BC。

五、掌握綜合法和分析法，加強各種題型的訓練

在實際教學中，對學生的邏輯思維訓練貴在精煉而不在多，尤其不主張實行題海戰術，而是要對學生進行“變式”訓練。很多題目其實都可以運用同一個公式解答，萬變不離其宗，以考查學生對知識點融會貫通的程度，可以培養學生思維的變通性。實踐表明，學生的反應變通、推理熟練經常是特定題組訓練出來的結果。讓學生接觸到的題組的形式變換題目的條件、結論或圖形，更可以將條件和結論互換，便可以從不同側面表明問題的實質，從而鍛煉初中生的幾何邏輯推理能力，使他們的思維靈活變通，可以適應多種形式的變化。[3]

例7：（綜合法）已知，如圖正方形ABCD，菱形EFGP，點E、F、G分別在AB、AD、CD上，延長DC，PH⊥DC于H。

求證：GH=AE。

初中生幾何邏輯推理能力的培養，絕非一蹴而就，需要教師和學生雙方共同合作努力。學生在平時應該在教師的引導下，多加思考典型的例題的每一步過程，在腦海中構建解題的思維框架，教師也應積極引導學生進行整理比較，歸納出其中規律。在課程實施中，要關注定理、定義和性質等結論，要為同學們提供變式訓練，適時指導，這樣才能慢慢顯效，最終初中生的幾何邏輯推理能力才能得到提升。