數學為何三大難

我所講的數學，與大家學過的、聽說過的數學，不太一樣。它既不是如何解題，也不是如何計算。這個課程叫做：理解數學。就是如何理解數學和做數學理解的意思。

理解和應用，在數學學習和教學中至關重要，其重要性遠遠超過了我們意識到的程度。如何理解數學總述，圍繞如何理解數學和如何做數學理解（也即數學閱讀），針對初等數學，主要包括如何理解數學：即數學是什么、有什么用、如何用；如何理解數：即數字、代數、計算是什么、有什么用、如何用；如何理解形：即圖形、幾何、證明是什么、有什么用、如何用；如何理解分析：統計、函數、微積分是什么、有什么用、如何用。

數學到底是什么？為什么人們紛紛反映數學難學、難教、難用？

2014年國家公布招生考試方案消息后，在互聯網上曾掀起一股熱潮：讓數學滾出高考。很多人抱怨，學了十幾年數學，到頭來只有買菜時用得上。

事實上，這些難題一直困擾著我國的數學教育，是我國數學教育中的普遍難題，在數學教育中幾乎成了望而卻步的高山峻嶺。數學學習與教學之難之尷尬，與英語學習與教學之難之尷尬，成為我國基礎教育乃至高等教育中的兩座困難大山。要拔掉這座困難之山，可能就需要先把這三個問題搞清楚。

是不是所有國家、所有人學習數學和數學教學都這么困難呢？顯然不是。看看世界數學史上的那些燦若群星的數學家、看看古希臘時期數學發現等，我們就知道數學與其他學科和技藝一樣，并沒有什么特殊難度，而且在一定程度上學習的難度要低于語言之外的其他學科。我們再看看歐美主要國家，他們的學生學習數學從來沒有像我們的學生學習數學這么困難過，學習數學對美國和歐洲的孩子們而言，比學習其他學科反而容易——這是不是有點意外？超出了我們平時的

常識？

若干年前轟動全國的《素質教育在美國》、《高考在美國》的作者黃全愈博士是我的好友。黃博士不是數學專業，而且似乎數學能力很一般，他的妻子陳彤女士也不是數學專業，然而他們的兒子礦礦剛開始數學雖然不太好，但到了小學三四年級，礦礦開始自學數學，小學畢業前自學完了高中數學。礦礦學習數學的經歷曾轟動一時。我曾經仔細問過黃全愈博士，礦礦自學數學困難不？是不是孩子的數學天分高？黃博士說：NO！礦礦的數學天分應該一般；他自學數學快樂得很，而且學得很快，至少比其他學科快得多。黃老師的話我信服，而且我自己就是從小學一路自學數學過來的，我很少聽老師的數學課，但看了很多數學方面的書。那么，為何數學教育和數學學習在我國這么困難、在絕大多數學生和教師那里成為學習、教學困難之山呢？

其實這問題也很簡單，只要試圖回答清楚三個問題，看看回答的過程和結果就知道原因了：什么是數學？組成數學的最基本要素是什么？學習數學有啥用？

我們再回想一下，我們可以經常閱讀各種書籍，唯獨不閱讀數學。而且甚至于一提數學閱讀，很多人就說：數學怎么閱讀？！數學是閱讀的嗎？如果再問學數學有啥用？如果大家誠實，就會說：算數、測量用。這顯然不是數學的全部吧？

由此，一個基本的事實就暴露出來：我們竟然不了解、不理解、不會用數學。換句話說，我們對數學竟然缺乏基本的認知、理解和應用。數學的存在、意義和價值，我們竟然所知甚少。而我們對除外語和數學之外的其他學科，卻不是如此。

數學，對我國絕大多數人而言，實際上就是：算數和圖形；換言之，數學就是中國鐵器時代之前的算數和畫圖；數學不是古希臘數學和源自古埃及、古阿拉伯、古希臘的近現代數學，而是中國數學——算術和圖形。

數學學習與教學困難的基本原因就暴露出來了。

對學習現代數學而言，我們缺乏最基本的歷史和文化、認知和理解。數學，不是中國算術和圖形；算術和圖形只是組成數學的原始的基本的部分原材料。近現代數學，對我國而言，是舶來品，完全的舶來品，這就如英語一樣。換句話說，我們按照中國數學文化和思想來學習現代數學，此路不通。如果按照現代數學本身學習和教學，那我們缺乏必需的基本資源和路徑——歷史、文化，認知、理解。這里指的是現代數學本身的歷史、文化和認知、理解方法，而非中國數學的歷史、文化和認知、理解方法。

數學，對我們而言為何那么難以了解和理解？因為我們的數學學習和教學中缺乏最基本的土壤和空氣——現代數學的歷史、文化和思想；數學，對我們而言為何那么難以學習和應用？因為我們的數學學習和教學中缺乏最基本的營養和氧氣——現代數學的思維、方法和實踐。我們現在學習、教學的課本、課標等，屬于現代數學中的初等數學，而初等數學就是古希臘數學至16世紀的數學。這是西方的數學史，當然也是西方的數學文化。我國的數學教育，非但不教授西方數學史和文化，而且是用中國古代近代數學史和文化來替代。——其惡果不言而喻。

我們學習的數學為何抽象、苦澀、難懂？！脫離了史實和事實的符號世界，豈能不抽象、難懂和苦澀？如何理解數學，從以上文字中，相信大家已有感觸：必須拿起古希臘數學史、近現代數學史；重回古希臘、西方近現代文化，尤其是數學文化；找回數學史實和事實。

如何理解和應用數學？讓我們重回數學史、文化、思維、方法產生的時空，一步步走到現代文明，建構數學感知、認知、探知的思維和方法。

數學（mathematics），是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。數學在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。

數學（漢語拼音：shùxué；希臘語：μαθηματικ；英語：Mathematics），源自于古希臘語的μθημα，其有學習、學問、科學之意。古希臘學者視其為哲學之起點，“學問的基礎”。在中國古代，“數學”叫作算術，又稱算學，后改為數學。中國古代的算術是六藝之一（六藝中稱為“數”）。請注意：西方古代數學的原意，是學問、哲學的起點、學問的基礎。而中國古代數學則是算術、算學兩者，有天壤之別。

數學起源于人類很具體、具象的生存、生活與生產的需求，人類對生存、生活和生產所必須和必需的、有興趣的、好奇的物和事，需要認知和理解，也需要區分與解釋。這是數學產生的根本源頭、動力和目的。那么，為什么對物和事的認知和理解以及區分與解釋，就產生了數學呢？這取決于人類是如何認知和理解（區分和解釋）物（食物、器物等）和事（人與人之間、人與物之間等發生的關系和變化），是人類生存、生活、生產所必須面對和所必需認知、理解及區分、解釋的。比如，原始人類活著的每一天，必須面對各種食物、使用各種器物，必須面對各種事務（關系和變化）。面對的同時，首先是必須認知和理解各種食物、器物、事務，還必須面對向同伴或其他人做指示、區分和解釋。人類對物和事的認知，首先是辨認“是什么”、“怎么吃或用”等，由此逐漸產生了標記、表示和表達——由“記物、記事”需求造成了文字的產生和發展；其次是辨認“有多少”、“有多大”等，由此逐漸產生了多少、多大等標記、表示和表達由“計物、計事”需求造就了數字和圖形的產生和發展。

人類對物和事的理解，首先是區分和數量、測量。區分物和事，是基于對其形狀、形式的辨認，由此產生了象形、會意等；而對物和事的準確理解，則導致了進行數量和測量。隨著人類接觸和使用的事和物范圍及深度增大，對物和事的認知和理解逐步擴展和加深，導致“記物、記事”與“計物、計事”開始融合，分類、比較、分拆、組合逐步產生并形成思維方法。由分類、比較的擴展和深化，歸納意識和方法產生并發展；由分拆、組合的擴展和深化，推理意識和方法產生并發展。

隨著人類認識和理解，以及表達和解釋的發展，由對物、事的“分類+比較”思維逐步產生了定義、概念；由“分類+比較”+“分拆+組合”產生了以概念為基礎的推理——形式邏輯出現。由對物、事的追求徹底分類、比較，分類法和分類規則的出現，導致歸納法的深度發展。同時，因為對必然和或然的感知積累，也分別導致了對因果律和統計律的追求，這也是出現邏輯和統計（歸納）的原因之一。總之，數學的起源和初始并不抽象；數學的對象、方法、規則等也不抽象。人類的所謂抽象，本質是去形象、形狀、形式化，以特征和指代來表征物、事；也是要大量、簡潔的標示、表示和表達目的、方法和規則的需要。由此，是因為字系、數系、形系、方法系、規則的發展，導致數學逐步遠離了具象（形象、形狀、形式），而走向了抽象（特征、指代、指事）等。

乘法與除法，其實質是：基數與序數之間的運算而我國數學不講這個，只做還原為加減法和格式律，這是有問題的，比如：乘法，實質是：基礎×序數，也即，個數與位置之間的關系和加合而除法，實質是分配法：基數分配給序數——個數分配給位置數學，其基本要素就是：數、形、規則。

在數學基礎研究上，有三種基本研究——可以視作三種基本規則：直觀、邏輯、形式。換句話說，類似“1+1=2”這種，一般而言，必須符合直觀、邏輯、形式規則，才能被認同。所謂直觀，可以理解成：符合人類的感知和經驗；所謂邏輯，也就是形式邏輯了——大前提、小前提、結論；所謂形式，即抽象結構，構造直觀就如兩點確定一條直線。邏輯也能理解，就是直觀難理解。其實直觀最好理解。直觀，你可以看成是事實或實物或存在。

我們的現狀是：很多人學的數學與生活是脫離的。都知道數學的一些統籌方法好，做事效率高。一旦到現實生活中，很少有人用數學思維去思考，用數學習慣去改變我們的生活。作為數學教師，我們任重而道遠。

（作者單位：公眾教育研究院）