淺談算術解法與代數解法

無論中高中數學還是初中數學，有些內容看似復雜，但在解題的方法上又頗為靈活，而且總會有一些知識既是大家關注的焦點，又是學習的難點。如現實生活中，我們就無法回避“算術解法”與“代數解法”相比較的問題。許多同學對此認識模糊，難以擺脫算術解法思維模式的羈絆，抓不住代數解法的思考方向和要領，缺乏新知識應用的自覺性。下面我以高中理科生的身份，和同學們談談幾點心得感受。

一、從思考過程上看對待未知數的不同態度

算術與代數兩種解法的不同思維方法，首先表現在思考過程中對待未知數的態度不同。算術解法只看到已知數與未知數對立的一面，在它們之間劃了一道不可逾越的鴻溝。在具體思考中，不少同學把已知數當作探索過程的起點，而題目所需要的未知數只能是探索過程的終點。遇到較為復雜的應用題，要尋找到解題的正確方向與途徑，往往需要付出大量艱辛的探索，這正是算術解法“落后”的標志，其直接原因是：提前背起了未知數的“未知”這一沉重包袱，沒能調動未知數的“積極性”，發揮它身上的“導向功能”。不能把已知數和未知數放在一起考慮，平等地對待；總認為已知數是現實的，而未知數只存在于未來理想中，已知數與未知數彼此不通“音信”，也就無法弄清它們之間的全部數量關系，問題的全貌就無法展示出來， 如此解題既費時又費力，實非中學數學之上策。下面我舉一實例，供同學們參考。例如：甲、乙兩廠去年分別完成任務的112%和110%，共生產機床4000臺，比原任務（兩廠之和）超產400臺。甲廠原任務生產多少臺？用算術解法，省去探求過程，說明如下：

從解題的艱難過程來看，幸虧有“假設”的妙想幫忙，而代數解法以“已知”和“未知”的對立統一思想為指導，積極促進“未知”向“已知”轉化，首先用字母表示其中一個未知數，并用含字母的代數式表示相關的其它未知數，做到將未知數化“無形”為“有形”，再將未知數和已知數“面對面”放在一起，通過它們的交融，我們就不難找出它們之間的全部數量關系，進而抓住反映問題全部含義的相等關系，然后用含有未知數的代數式分別表示反映“相等關系”的等式左邊和右邊，從而得到方程。方程的建立，標志著解答應用題已經取得決定性勝利。接下來解方程，求未知數的值，相信各位已不在話下。大家切莫忘記，在發現相等關系建立方程的過程中，“未知”與“已知”的“平等對話”立下了頭功。

請看下面例題的代數解法過程：設甲廠原任務為x臺，則乙廠原任務為（4000-400-x）臺，讓以上兩個未知數與已知數4000臺等處于平等“地位”，統一到下面的相等關系中：甲廠實際生產臺數+乙廠實際生產臺數=兩廠實際生產總量。利用有關數量關系，甲廠實際生產臺數表示為：112%X臺，乙廠實際生產臺數表示為：（4000-400-x）·110%臺，于是得出方程：112%x+110%（ 4000-400-x） =4000。至于解方程，那是程序化的運算操作，也就不是什么難事了。

二、從思想方法上看兩種解題方法的優劣

代數解法從整體入手，一開始就抓住既包括已知也包括未知的整體，將問題的“全部涵義”通過方程暴露在“光天化日之下”，再利用“操作系統”，也就是解方程的方法步驟求出問題的解，它常具有居高臨下、省時省力的優點。而算術解法從局部入手，著眼于數量之間的“狹窄陰暗空間”，把已知數當作唯一依靠，“摸著石頭過河”，不能把所有已知數和未知數都作為基點，利用它們之間全部數量關系，架起一座通往未知的“橋梁”（方程）。代數解法用相互聯系的目光看問題，把數量關系作為探索的主要目標，把握了數量關系之“藤”就能“順藤摸瓜”（求未知數）。而算術解法的目標，是一個個彼此孤立的數量，用孤立靜止的目光看問題，看不到或不善于綜合利用數量之間的系統聯系，算術解法過于“功利”，過于“現實”，重視眼前，力爭每一步求出一個數量，而代數解法著眼“將來”，優先考慮數量的“生存環境”（數量關系）的優化（建立方程）。

看來，我們不僅要對代數解法的特點和優越性有清醒的認識，而且還要掌握如下幾方面的思考要領。一是要弄清題意，明白問題中的已知數和未知數，并用字母表示其中一個未知數，一般是題目要求的未知數。二是要把分析重點放在掌握已知數與未知數的所有數量關系上，并找出“反映問題”全部含義的相等關系。三是要根據這個“相等關系”的左邊和右邊，列出需要的代數式，從而列出方程。這些要領，我們要在各種題型的分析中反復體會才能掌握，并形成技能，從而提高運用代數方法解決實際問題的能力。