三角函數中的解題易錯淺析

在教學過程中，發現有很多學生進入高中就最怕學函數，一遇到函數問題心里就犯怵，尤其是三角函數問題。其主要原因是：三角函數公式較多，知識點散亂，很多同學容易記混，圖像平移變換不得法，而且很多題目隱含條件較深不易挖掘。所以，在解題時總是出現這樣那樣的錯誤。

一、忽視角度與弧度的統一，角度制與弧度制混用

案例1：與π3終邊相同的角連同π3在內組成的集合是 。 錯解：∵與60°角終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+60°，k∈Z}，∴與π3終邊相同的角的集合為{α|α=2kπ+60°，k∈Z}。錯因分析：把360°化為2π，是從角度轉化為弧度，而60°仍然是角度，出現了角度與弧度混用錯誤。正解：∵與60°角終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+60°，k∈Z}，∴與π4終邊相同的角的集合為αα=2kπ+π3，k∈Z。答案：αα=2kπ+π3，k∈Z，案例2：第四象限角的集合可寫成（ ）

A.αk·360°<α

C.αkπ<α

錯解：A或B。錯因分析：選項A，B也是忽視了角度與弧度的統一。正解：D

二、在求角的三角函數值時，對角的終邊位置考慮不全面

案例3：已知角α的終邊在直線y=-3x上，求sinα+cosα的值.錯解：在直線y=-3x上任取一點P（1， -3），即x=1，y=-3，則r=1+3=2，∴由三角函數的定義得sinα=yr=-32，cosα=xr=12.∴sinα+cosα=-32+12=1-32.錯因分析：角的終邊在一條直線上，直線相當于從原點出發的兩條射線，在解題時沒有注意討論，造成解答不全。正解：當α為第二象限角時，在終邊上任取一點P1（-1，3）， 則|OP1|=r=2，由三角函數定義得sinα= yr=32，cosα=xr=-12，∴sinα+cosα=3-12.當α為第四象限角時，在終邊上任取一點P2（1，-3），則|OP2|=r=2，由三角函數定義得sinα=yr= -32，cosα=xr=12，∴sinα+cosα=-3+12.綜上所述：sinα+cosα=±3-12.

三、不理解三函數的定義

案例4：已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸.若P（4，y）是角θ終邊上一點，且sinθ=-5）5，則y= 。錯解：因P（4，y）是角θ終邊上一點且sinθ=-5）5，∴sinθ=y=-5）5.錯因：題中P點不在單位圓上，不能直接用定義表示sinθ，而應利用下列方法求解，若角α終邊上任意一點P（x，y），|OP|=r，則sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx這兩個定義是等價的。正解： ∵P（4，y）是角θ終邊上一點，由三角函數的定義知。sinθ=y＼r（16+y2），又sinθ=-5）5，∴y＼r（16+y2）=-5）5，解得y=-8.

四、求值時，忽視了角的取值范圍

案例5：已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=3）-12，則tanθ的值為（ ）

A.-3或-3）3 B.-3）3 C.-3 D.-3）2

錯解：由sinθ+cosθ=3）-12兩邊平方得：1+2sinθ·cosθ=1-3）2，即sinθ·cosθ=-3）4，∴sinθ·cosθ=sinθ·cos θsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=-3）4，解之得tanθ=-3或tanθ=-3）3.選A。錯因分析：上述解法中，沒有考慮題設中的限制條件，即沒有根據條件判定sinα與cosα的符號，由sinθ+cosθ=3）-12兩邊平方擴大了θ的取值范圍引起增解.由sinθ+cosθ=3）-12兩邊平方得sinθ·cosθ=-3）4，由sinθ·cosθ=sin θ·cos θsin2θ+cos2θ=tan θ1+tan2θ=-3）4，解得tanθ=-3或tanθ=-3）3，由于θ∈（0，π），0|cosθ|，∴|tanθ|>1，即θ∈＼a＼vs4＼al＼co1（＼f（π34）π，∴tanθ<-1，∴tanθ=-3）3，舍去。故tanθ=-3。在利用sinθ±cosθ，sinθcosθ之間的關系解題時，往往容易忽略角的取值范圍，造成增解或失解。在已知sinθcosθ的值，求sinθ+cosθ或sinθ-cosθ的值時，需開方，因此要由角的范圍確定取“+”還是“-”。

五、對公式理解不全面或記憶不準確，導致符號產生錯誤

案例6：化簡：sin[（k+1）π+θ]·cos[（k+1）π-θ]sin（kπ+θ）·cos（kπ-θ）（k∈Z）。錯解：原式=sinθcos（-θ）sinθcosθ=sinθcosθsinθcosθ=1。錯因分析：由于題目中k的奇偶性不確定，不能直接運用誘導公式。上述解法對公式混淆不清，造成解題過程錯誤。所以，在解題時要對k進行分類討論。

正解：①當k取偶數時，設k=2n（n∈Z），則原式= sin[（2n+1）π+θ]sin（2nπ+θ）·cos[（2n+1）π-θ]cos（2nπ-θ）= sin（π+θ）sinθ·cos（π-θ）cosθ=sinθ·cosθsinθ·cosθ =1.②當k取奇數時，設k=2n+1（n∈Z），則原式= sin[（2n+2）π+θ]sin[（2n+1）π+θ]·cos[（2n+2）π-θ]cos[（2n+1）π-θ]= sinθcos（-θ）sin（π+θ）cos（π-θ）=sinθcosθsinθcosθ =1，綜上，原式=1.

案例7：已知sinπ4-α=a， 0<α<π2， 求sin5π4+α的值。

錯解：∵0 <α<π2， ∴- π4<π4–α<π4，∴cosπ4-α>0，∴cosπ4-α=1-sin2π4-α=1-a2， sin5π4+α=sin3π2-π4-α=cosπ4-α=1-a2，錯因分析：對使用誘導公式求三角函數值時，對符號的確定沒有掌握好，在sin3π2-π4-α中，把“π4 - α”看成銳角來確定三角函數值的符號。

正解：∵0<α<π2，∴-π4<π4 -α<π4，∴cosπ4-α>0.∴cosπ4-α=1-sin2π4-α=1-a2∴sin5π4+α=sin3π2-π4-α=-cosπ4-α= -1-a2.

六、沒有弄清楚周期函數的定義

案例8：利用定義求f（x）=sin2x-π6的最小正周期。錯解：∵f（x+2π）=sin2（x+2π）-π6=sin2x-π6+4π=sin2x-π6=f（x）， ∴f（x）的最小正周期是T=2π。錯因分析：錯解中求的不是最小正周期.對于函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），其最小正周期為2πω。正解：令z=2-π6，∵x∈R，∴z∈R，又∵y=sinz的周期是2π，而z+2π=2x-π6+2π=2（x+π）- π6.∴f（x+π）=sin2（x+π）-π6=sin2x-π6+2π=sin2x-π6=f（x）. ∴f（x）的最小正周期是T=π。

在解題出現錯誤，是常見的事，并不可怕，關鍵是不應該把錯誤改正草草了事，而是要從“錯”中去“悟”。一是要感悟錯因，二是要感悟相關知識薄弱點，三是要感悟思維盲點，只有這樣才能徹底糾正錯誤，才能確保不會再范，增強學好三角函數的信心。