化歸思想

【摘 要】化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的思想方法之一。本文從化歸的功能，化歸的思維模式以及中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的普遍應(yīng)用，力求借助有限的幾個(gè)實(shí)際題目的解答過(guò)程和思路，比較全面地體現(xiàn)化歸思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的靈魂作用。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；由“陌生”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“熟悉”問(wèn)題

數(shù)學(xué)是一門演繹推理的學(xué)科。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)為其他學(xué)科提供了語(yǔ)言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)。”“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈骄亢秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”從中我們可以看出新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)更加突出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，而其中化歸思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用和最重要的一種數(shù)學(xué)思想和策略。

所謂“化歸”，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。“化歸方法”是把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題，最終求得問(wèn)題答案的一種手段和方法。這一思想策略將貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程之中，，是整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“靈魂”。下面就通過(guò)有限幾個(gè)實(shí)例來(lái)展示化歸的魅力。

一、例如初中重要的一項(xiàng)內(nèi)容——函數(shù)中的一題

“已知一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（3，5），（-4，-9）。求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。”

作為剛開(kāi)始接觸函數(shù)的學(xué)生，對(duì)如何求函數(shù)解析式可以說(shuō)是一頭霧水。但這時(shí)如果讓學(xué)生運(yùn)用化歸思想，從問(wèn)題出發(fā)逆向思維：

要求的是一次函數(shù)解析式——就是要確定一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中，k的值和b的值——這樣題目就轉(zhuǎn)化成了學(xué)生熟悉的“求兩個(gè)未知數(shù)的值的問(wèn)題”——考慮要求兩個(gè)未知數(shù)的值，需要兩個(gè)方程，——根據(jù)在函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)符合解析式這一性質(zhì)，我們可以把點(diǎn)（3，5），（-4，-9）坐標(biāo)分別代入解析式，從而得到兩個(gè)關(guān)于k、b的方程。——通過(guò)解方程組即可求出k、b的值，最終得到要求的一次函數(shù)解析式。

整個(gè)解題過(guò)程即把我們所遇到的“陌生”問(wèn)題——求函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為我們較為“熟悉”的問(wèn)題——求兩個(gè)未知數(shù)值的問(wèn)題，利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)——解二元一次方程組求未知數(shù)的值，使問(wèn)題得到解決。

二、再如：“一條平行于直線y=-3x的直線交x軸于點(diǎn)（2，0），求該直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。”一題

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們?nèi)匀徊捎脧膯?wèn)題出發(fā)逆向思維的方式來(lái)分析：要求直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要先求直線解析式——要求直線解析式需要確定y=kx+b中k和b的值——由平行推出k值與y=-3x相等，即k=-3從而只需要求未知數(shù)b的值，——問(wèn)題這時(shí)轉(zhuǎn)化成“求一個(gè)未知數(shù)b的值”的問(wèn)題，只需要一個(gè)關(guān)于b的方程——把（2，0）這對(duì)坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=-3x+b既可以得到一個(gè)關(guān)于b的方程，解方程可得b的值。

整個(gè)解題過(guò)程仍是把我們所遇到的“陌生”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們較為“熟悉”的問(wèn)題，再利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使問(wèn)題得到解決。另外化歸思想的主要特點(diǎn)是它所體現(xiàn)的思維的靈活性和多樣性。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，組成主要元素之間的相互依存和相互聯(lián)系不是一成不變的，而是多種多樣的。所以應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式可以遵循。這也是我們同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到困難的主要原因。因此，我們讓孩子們體會(huì)到必須根據(jù)問(wèn)題本身提供的信息，利用動(dòng)態(tài)的思維，具體問(wèn)題具體分析，去尋求有利于問(wèn)題解決的化歸途徑和方法。

三、如在幾何知識(shí)部分中一個(gè)典型題目

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的長(zhǎng)。

過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∵AD∥BC，

∴四邊形ACED是平行四邊形，

∴CE=AD=3，DE=AC，

∴BE=BC+CE=8，

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，

∴BD=DE，BD⊥DE，則三角形BDE為等腰直角三角形。

∴AC=DE=BD=4

整個(gè)解題過(guò)程仍是把我們所遇到的“陌生”問(wèn)題——等腰梯形的問(wèn)題通過(guò)平移對(duì)角線轉(zhuǎn)化為我們較為“熟悉”的問(wèn)題——直角三角形和平行四邊形的問(wèn)題，再利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使問(wèn)題得到解決。這也是我們常說(shuō)的通過(guò)“舊知”解決“新知”。而我們的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程就是新舊知識(shí)相互聯(lián)系、相互影響的過(guò)程；我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就是學(xué)習(xí)如何在“已經(jīng)知道的知識(shí)”和“需要知道的知識(shí)”之間架起橋梁的過(guò)程。這也是學(xué)生將來(lái)能夠?qū)崿F(xiàn)“終身學(xué)習(xí)”的重要途徑。

通以上實(shí)例，可以看出：縱觀初中數(shù)學(xué)化歸思想，主要是體現(xiàn)在化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、化難為易。而這些思路和策略貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程之中。如學(xué)習(xí)分式方程時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的就是如何將分式方程化為整式方程，再利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的整式方程來(lái)進(jìn)行解答。還有在解決代數(shù)問(wèn)題的常常將代數(shù)問(wèn)題化為幾何問(wèn)題，使抽象的問(wèn)題變得具體化，圖像化。學(xué)生才可以把看不到，摸不著的“無(wú)形”問(wèn)題代入“有形”問(wèn)題中進(jìn)行思考和探究。還有將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，將一個(gè)角（邊）用另一個(gè)角（邊）來(lái)替代等等。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法、配方法、整體代入法、構(gòu)造法（包括替代法）以及化動(dòng)為靜、由抽象到具體等。

總而言之，化歸思想滲透到了我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面，時(shí)時(shí)刻刻。因此我們說(shuō)化歸思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“靈魂”，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的重要手段。