μ=tanφ的秘密

【摘 要】涉及摩擦力的動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)問(wèn)題，是高中力學(xué)研究的重要問(wèn)題之一，也是學(xué)生難以掌握的重要問(wèn)題之一，應(yīng)用正交分解法解題時(shí)會(huì)顯得有些繁瑣，本文通過(guò)課本知識(shí)的拓展尋求解題方法的創(chuàng)新，同時(shí)還引用靜摩擦錐重新認(rèn)識(shí)摩擦自鎖現(xiàn)象。方法的創(chuàng)新使得我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題更為深刻，解題時(shí)更為簡(jiǎn)單，能夠做到深入淺出。

【關(guān)鍵詞】巧思妙解；滑動(dòng)摩擦角；最大靜摩擦角；摩擦自鎖

一、巧思妙解

依據(jù)三角形法則，兩個(gè)互成角度的共點(diǎn)力合成時(shí)，可將代表兩個(gè)力的有向線段首尾相接，從一個(gè)力的箭首指向另一個(gè)力的箭尾就得到這兩個(gè)力的合力。由此可以類(lèi)推出多個(gè)互成角度的平面共點(diǎn)力合成時(shí)，將代表這多個(gè)力的有向線段首尾相接，從第一個(gè)力的箭首指向最后一個(gè)力的箭尾就得出這多個(gè)力的合力，如圖1所示為四個(gè)平面共點(diǎn)力的合成圖。

進(jìn)一步探討不難發(fā)現(xiàn)，滑動(dòng)摩擦力f和正壓力N之間存在這樣的關(guān)系：（1）方向相互垂直；（2）動(dòng)摩擦因數(shù)一定時(shí)，大小成正比；（3）相互對(duì)應(yīng)地作用在同一物體上。在動(dòng)摩擦因數(shù)一定的情況下，滑動(dòng)摩擦力和正壓力的合力F與正壓力N方向間的夾角為定值，且tanφ= =μ，如圖2所示，此處稱(chēng)角為滑動(dòng)摩擦角。

現(xiàn)在應(yīng)用以上兩個(gè)拓展后的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解高考題。

[2013年高考山東理綜試卷第22題]如圖3所示，一質(zhì)量m=0.4kg的小物塊，以v0=2m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=2s的時(shí)間物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，A、B之間的距離L=10m。已知斜面傾角，物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，重力加速度g取10m/s2。

（1）求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小。

（2）拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

來(lái)看下面的簡(jiǎn)便快捷的解法。先將小物塊受到的滑動(dòng)摩擦力和支持力合成為力F1，設(shè)力F1與支持力N方向間的夾角為φ，且tanφ=μ= ，φ=30o，則力F1與豎直方向的夾角為β=φ+θ=60o。小物塊的加速度方向沿斜面向上，將力F1、重力G和拉力F合成后得到的合力F合方向也應(yīng)沿斜面向上。這個(gè)圖不便于快速得出拉力F的最小值，解題時(shí)應(yīng)盡量把重力G和合力F合這兩個(gè)恒力畫(huà)在一起，這樣求拉力F的最小值更加方便快速如圖4。拉力F的方向改變時(shí)其箭首位置在圖中不變，箭尾位置可在力F1的力線上移動(dòng)，在圖中不難看出，當(dāng)拉力F與力F1垂直時(shí)，拉力F最小，此時(shí)拉力F與斜面的夾角為α0=30o，將F合與G投影到Fmin上，其投影長(zhǎng)度之和為Fmin的長(zhǎng)度，于是拉力F的最小值為：

Fmin=F合cosα0+Gsinβ=macosα0+mgsinβ。

代入數(shù)據(jù)，得Fmin=2.6 N。

二、摩擦自鎖

物體間的相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)可能是由于運(yùn)動(dòng)變化引起的，也可能是由于產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的主動(dòng)性外力變化引起的，不管如何，靜摩擦力的大小都會(huì)隨相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的增大而增大，直到正要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)靜摩擦力才達(dá)到最大值。最大靜摩擦力的大小與物體間的正壓力成正比：fmax=μ0N，比例系數(shù)稱(chēng)作最大靜摩擦力系數(shù)。把物體受到的來(lái)自支承面的支持力N和靜摩擦力f合成為一個(gè)力F，設(shè)力F與N方向間的夾角為φ，則有tanφ= ≤ =μ0=tanφm，即有φ≤φm。

如果用一個(gè)主動(dòng)性外力作用在物體上并指向支承面，若F主與支承面的法線成θ角，則只要θ≤φm，無(wú)論F主有多大，支承面對(duì)物體的支持力和靜摩擦力的合力F都能與F主平衡，使物體與支承面之間不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，也就是平常所說(shuō)的無(wú)論用多大的力都推不動(dòng)，這種現(xiàn)象叫做摩擦自鎖。考慮到受力方向的空間性，也為了便于說(shuō)明，不妨以支持力N的力線為軸，以支持力N和最大靜摩擦力fm的合力Fm為母線旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一個(gè)圓錐，稱(chēng)之為靜摩擦錐，其頂角的一半便是φm，如圖5所示。當(dāng)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的主動(dòng)性外力F主的作用線位于靜摩擦錐內(nèi)時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)摩擦自鎖現(xiàn)象，相反，若在靜摩擦錐外時(shí)物體相對(duì)支承面就會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

放在粗糙斜面上靜止的物體，只要斜面傾角θ不超過(guò)靜摩擦錐的半頂角φm，無(wú)論物體有多重都能靜止在斜面上，這就是斜面自鎖。此時(shí)物體的重力為主動(dòng)性外力，如圖6所示，重力的作用線在靜摩擦錐內(nèi)。為什么木制家具的榫眼里可以加楔呢？是因?yàn)轫斀禽^小的木楔能自鎖在榫里不會(huì)被擠出來(lái)，將榫眼的縫隙填滿(mǎn)，從而增強(qiáng)木榫的牢固性。同樣的道理，千斤頂能承受巨大的軸向壓力，也是利用了螺旋內(nèi)部的斜面自鎖原理。

小結(jié)

滑動(dòng)摩擦力和靜摩擦力中都隱藏著的秘密，運(yùn)用這個(gè)秘密可以巧妙而快速地解決動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)問(wèn)題。