μ=tanφ的秘密

【摘 要】涉及摩擦力的動力學和靜力學問題，是高中力學研究的重要問題之一，也是學生難以掌握的重要問題之一，應用正交分解法解題時會顯得有些繁瑣，本文通過課本知識的拓展尋求解題方法的創新，同時還引用靜摩擦錐重新認識摩擦自鎖現象。方法的創新使得我們認識問題更為深刻，解題時更為簡單，能夠做到深入淺出。

【關鍵詞】巧思妙解；滑動摩擦角；最大靜摩擦角；摩擦自鎖

一、巧思妙解

依據三角形法則，兩個互成角度的共點力合成時，可將代表兩個力的有向線段首尾相接，從一個力的箭首指向另一個力的箭尾就得到這兩個力的合力。由此可以類推出多個互成角度的平面共點力合成時，將代表這多個力的有向線段首尾相接，從第一個力的箭首指向最后一個力的箭尾就得出這多個力的合力，如圖1所示為四個平面共點力的合成圖。

進一步探討不難發現，滑動摩擦力f和正壓力N之間存在這樣的關系：（1）方向相互垂直；（2）動摩擦因數一定時，大小成正比；（3）相互對應地作用在同一物體上。在動摩擦因數一定的情況下，滑動摩擦力和正壓力的合力F與正壓力N方向間的夾角為定值，且tanφ= =μ，如圖2所示，此處稱角為滑動摩擦角。

現在應用以上兩個拓展后的知識點來解高考題。

[2013年高考山東理綜試卷第22題]如圖3所示，一質量m=0.4kg的小物塊，以v0=2m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運動，經t=2s的時間物塊由A點運動到B點，A、B之間的距離L=10m。已知斜面傾角，物塊與斜面之間的動摩擦因數，重力加速度g取10m/s2。

（1）求物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小。

（2）拉力F與斜面的夾角多大時，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

來看下面的簡便快捷的解法。先將小物塊受到的滑動摩擦力和支持力合成為力F1，設力F1與支持力N方向間的夾角為φ，且tanφ=μ= ，φ=30o，則力F1與豎直方向的夾角為β=φ+θ=60o。小物塊的加速度方向沿斜面向上，將力F1、重力G和拉力F合成后得到的合力F合方向也應沿斜面向上。這個圖不便于快速得出拉力F的最小值，解題時應盡量把重力G和合力F合這兩個恒力畫在一起，這樣求拉力F的最小值更加方便快速如圖4。拉力F的方向改變時其箭首位置在圖中不變，箭尾位置可在力F1的力線上移動，在圖中不難看出，當拉力F與力F1垂直時，拉力F最小，此時拉力F與斜面的夾角為α0=30o，將F合與G投影到Fmin上，其投影長度之和為Fmin的長度，于是拉力F的最小值為：

Fmin=F合cosα0+Gsinβ=macosα0+mgsinβ。

代入數據，得Fmin=2.6 N。

二、摩擦自鎖

物體間的相對滑動趨勢可能是由于運動變化引起的，也可能是由于產生相對滑動趨勢的主動性外力變化引起的，不管如何，靜摩擦力的大小都會隨相對滑動趨勢的增大而增大，直到正要發生相對滑動的臨界狀態時靜摩擦力才達到最大值。最大靜摩擦力的大小與物體間的正壓力成正比：fmax=μ0N，比例系數稱作最大靜摩擦力系數。把物體受到的來自支承面的支持力N和靜摩擦力f合成為一個力F，設力F與N方向間的夾角為φ，則有tanφ= ≤ =μ0=tanφm，即有φ≤φm。

如果用一個主動性外力作用在物體上并指向支承面，若F主與支承面的法線成θ角，則只要θ≤φm，無論F主有多大，支承面對物體的支持力和靜摩擦力的合力F都能與F主平衡，使物體與支承面之間不會發生相對滑動，也就是平常所說的無論用多大的力都推不動，這種現象叫做摩擦自鎖。考慮到受力方向的空間性，也為了便于說明，不妨以支持力N的力線為軸，以支持力N和最大靜摩擦力fm的合力Fm為母線旋轉一周構成一個圓錐，稱之為靜摩擦錐，其頂角的一半便是φm，如圖5所示。當產生相對滑動趨勢的主動性外力F主的作用線位于靜摩擦錐內時，便會出現摩擦自鎖現象，相反，若在靜摩擦錐外時物體相對支承面就會發生相對滑動。

放在粗糙斜面上靜止的物體，只要斜面傾角θ不超過靜摩擦錐的半頂角φm，無論物體有多重都能靜止在斜面上，這就是斜面自鎖。此時物體的重力為主動性外力，如圖6所示，重力的作用線在靜摩擦錐內。為什么木制家具的榫眼里可以加楔呢？是因為頂角較小的木楔能自鎖在榫里不會被擠出來，將榫眼的縫隙填滿，從而增強木榫的牢固性。同樣的道理，千斤頂能承受巨大的軸向壓力，也是利用了螺旋內部的斜面自鎖原理。

小結

滑動摩擦力和靜摩擦力中都隱藏著的秘密，運用這個秘密可以巧妙而快速地解決動力學和靜力學問題。