一“動”一“靜”一“數”一“形”

【摘 要】直線與圓是解析幾何的初步，高考的常客，有關最值問題更是考查的熱點，利用圓的圖形性質數形結合可以解決。當然，平面解析幾何的重要內容，是讓學生從中感受運用代數方法處理幾何問題的思想”，此類問題中，函數和基本不等式也發揮著重要的作用。

【關鍵詞】直線與圓；動點；最值；幾何問題；代數方法

一、條條道路通羅馬，數形結合首當家

引例：已知直線l：y=x-1，Q是圓C：（x+3）2+y2=1上任意點，求點Q到直線l的距離的最小值和最大值。

（圖1） （圖2）

【分析】這是求解“圓上一動點到直線距離”的常見考題，可以得“圓心到直線的距離減半徑”即為最短距離，這一結論在解題時可直接應用。

解：如圖1，圓心C到直線y=x-1的距離d=2 ，半徑r=1，故Q到直線的距離的最值為：dmax=2 +1，dmin=2 -1。

變式1：由直線y=x-1上一點向圓C：（x+3）2+y2=1引切線，則切線長的最小值為______。

【分析】求切線長的值____，應連接圓心和切點，構造直角三角形。如圖2因為PA2=PC2-r2，PA的大小取決于PC的大小，問題轉化為求PC的最小值，歸納至引例。

變式2：已知P為直線y=x-1上一動點，過P作圓C：（x+3）2+y2=1的切線PA，PB，A、B為切點，則當PC=_____時，∠APB最大。

（圖3）

【分析】∠APB=2∠APC，即求∠APC的最大，在RT△PAC中利用其正弦值可轉化為求PC的最小值，歸納至引例。

變式3：已知P為直線y=x-1上一動點，過P作圓C：（x+3）2+y2=1的切線PA，PB，A、B為切點，則四邊形PACB面積的最小值為____。

【分析】利用S四邊形PACB=2S△PAC將求面積的最小值轉化為PA的最小值，即求切線段的最小值問題。歸納至引例。

不同設問方式，考查內容都是有關圓上一動點到直線的距離的最值問題，將其轉化為圓心到直線的距離問題即可迎刃而解，數形結合，動點變定點的轉化思想得到充分展現。

二、幾何代數來爭艷，路死誰手真難辨

數學的美妙在于思維的延展和方法的多樣，同一個問題不同解決方法，既可以從“數”的角度思考又可以從“形”的方面探討，下面，筆者通過一個例子的三種不同解決方法揭示幾何與代數的密不可分的關系。

例1：已知實數x，y滿足（x+3）2+y2=1，試求：（1）x2+y2的取值范圍；（2） 的取值范圍；（3）x+2y的取值范圍。

方法（一）：利用所求式子的幾何意義

【分析】學生易想到所求三個式子的幾何意義，題（1）為圓上動點（x，y）與原點（0，0）的距離的平方，將動點問題轉化為定點問題，即圓心到原點的距離的平方即可。亦可看成兩個圓的關系問題，當兩圓相切時有最值。題（2）轉化為圓上一動點與點（-3，2）的連線斜率的取值范圍。題（3）令x+2y=Z，則y=- x+ z，問題轉化為求直線的縱截距的取值范圍。

方法（二）：利用函參數方程，轉化為三角函數

【分析】本例也可以利用圓的參數方程，將問題轉化為三角函數的最值求解。

解：題（1）

令x=cosθ-3y=sinθ，則x2+y2=（cosθ-3）2+sinθ2=10-6cosθ

∵-1≤cosθ≤1 ∴4≤x2+y2≤16；

題（2）令 =k，則 =k，即sinθ-kcosθ=2。 sin（θ-φ）=2 ∴|sin（θ-φ）|=| |≤1，k≤- 或k≥ ；

題（3）x+2y=cosθ-3+2sinθ= cos（θ+φ），-1≤cos（θ+φ）≤1，∴x+2y∈[3- ，3+ ]。

方法（三）：利用二次函數與二次方程

【分析】題（1）利用圓的方程把y用x表示，將所求式子表示成關于x的二次函數求值域；題（2）（3）均可設所求式子為t，用含x，t的式子表示y，并代入圓的方程，得到關于x的一元二次方程，方程有解，△≥0即可。

解：題（1）∵（x+3）2+y2=1∴y2=1-（x+3）2，

∴x2+y2=x2+1-（x+3）2=-6x-8 ∵-4≤x≤-24≤x2+y2≤16

題（2）令 =t，則y=xt+3t+2代入圓的方程得

（x+3）2+（xt+3t+2）2=1

即（1+t2）x2+（6t2+4t+6）x+2lt2+12=0方程有解，∴△≥0，解得t≤- 或t≥ ；題（3）同理。

本例的解決，正應了一句老話“條條大路通羅馬”，幾何性質，三角函數，二次函數二次方程多種解題方法的靈活應用，為學生提供了更多的選擇，究竟哪種方法使解題過程變得“快，狠，準”，選擇權在學習者手中，事實上，無論是哪種方法都在向我們解釋幾何和代數你中有我，我中有你的密不可分的關系。

三、幾何問題代數化，函數不等試一下

平面解析幾何的重要內容，是讓學生感受運用代數方法處理幾何問題的思想。有些問題利用何幾何性質無法求解，應考慮利用代數思想將問題轉化為函數問題。

（下轉第27頁）

（上接第26頁）

例2：已知圓C：（x+3）2+y2=1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，則 · 的最小值為____。

變式：已知P直線是直線l：y=x-1上的動點，過P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B，是切點，求 · 求的最小值。

【分析】用坐標來表示 · 是困難的，自然想到數量積的定義，如圖7令 · =| |·| |cos∠APB，若設|PA|=

|PB|=x，cos2α也可以用x表示，轉化為關于x的函數求解最值。

（圖7）

解：設|PA|=|PB|=x，則|PC|= ，sin∠APC= = ，∴cos∠APB=1-2sin2∠APB= ， · =| |·| |cos∠APB= ，

令t=x2，則 · = = = =（t+1）+ -3≥2 -3=2 -3（t+1）= ，t= -1，即x2= -1時等號成立 變式中，點P在直線y=x-1上運動，由引例變式1可知x≥ ，∴t+1≥8，等號取得條件不成立，可將 · =（t+1）+ -3看成關于t的函數，易知，該函數在[7，+∞）為增函數，∴當t=7，x= 時，取得最小值為 。

本例中充分體現了函數思想，轉化思想，不等式知識在解析幾何中的應用，揭示了解析幾何“用代數思想解決幾何問題的本質”當問題轉化為函數后，海闊天空，迎刃而解。

在解決與圓有關的最值問題時，應“數”和“形”兩方面結合考慮。“形”主要是利用圓的對稱性，切線的性質，將最值問題轉化為與圓心有關的問題，動點變為定點。“數”即利用方程，函數，不等式等思想將幾何問題代數化，從而解決。筆者謹希望通過對有圓有關的最值問題的探究，能讓同學們對此類問題有更深入的理解，同時也為后續繼續學習圓錐曲線打下堅實基礎。

【參考文獻】

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