高中數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

【摘 要】導(dǎo)數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，高中階段引進導(dǎo)數(shù)的學(xué)習有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的形態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線的切線問題，學(xué)好其他學(xué)科并發(fā)展學(xué)生的思維能力。因而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及解題過程中，可以利用導(dǎo)數(shù)思想解決諸如函數(shù)（解析式、值域、最（極）值、單調(diào)區(qū)間等）問題、切線問題、不等式問題、數(shù)列問題以及實際應(yīng)用等問題。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；新課程；應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中處于一種特殊的地位，是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相關(guān)問題的重要工具。

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新課程中的地位

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》指出：高中數(shù)學(xué)課程是由必修課程和選修課程兩部分構(gòu)成的。必修課程是整個高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，選修課程是在完成必修課程學(xué)習的基礎(chǔ)上，希望進一步學(xué)習數(shù)學(xué)的學(xué)生根據(jù)自己的興趣和需求選修。選修課程由系列1、系列2、系列3、系列4等組成。在系列1和系列2中都選擇了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。顯然，導(dǎo)數(shù)的重要性不言而喻。

二、導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容，有廣泛的應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、實際等問題帶來了新思路、新方法，使它成為新教材高考試題的熱點和命題新的增長點。

（一）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題

利用導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值域，求函數(shù)的最（極）值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例1 設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處取得極值0，確定函數(shù)的解析式。

解 因為函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，所以P點的坐標為（0，d），又曲線在P點處的切線方程為y=12x-4，P點坐標適合方程，從而d=-4，又切線斜率k=12，故在x=0處的導(dǎo)數(shù)y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，從而c=12，又函數(shù)在x=2處取得極值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。解得a=2，b=-9，所以所求函數(shù)解析式為y=2x3+9x2+12x-4。

例2 求函數(shù)f（x）= - 的值域。

解：f（x）定義域為[-1/2，+∞），由于f′（x）= - = ，又2 - = ，可見當x>-1/2時，f′（x）>0.所以f（x）= - 在[-1/2，+∞）上是增函數(shù)。而f（-1/2）=- /2，所以函數(shù)f（x）= - 的值域是[- /2，+∞）。

例3 求函數(shù)f（x）=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。

解 由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），則當x∈[-3，-1）或x∈（1，3/2]時，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；當x∈（-1，1）時，f′（x）<0，所以[-1，1]為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間。又因為f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（3/2）=-9/8，所以，當x=-3時，f（x）取得最小值-18；當x=-1時，f（x）取得最大值2。

例4 求f（x）=x3+3/x的單調(diào)區(qū)間。

解：f（x）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），又f′（x）=3x2-3/x2= ，由f′（x）>0，得x<-1或x>1；又由f′（x）<0，得-1

（二）利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題

例5 已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱I是C1和C2的公切線，求公切線l的方程。

解 由C1：y=x2+2x，得y′=2x+2，所以曲線C1在點P（x1，x12+2x1）的切線方程是y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1），即y=（2x1+2）x-x12。 （1）

由y=-x2+a，得y′=-2x，所以曲線C2在點Q（x2，-x22+a）的切線方程是y-（-x22+a）=-2x2（x-x2），即y=-2x2x+x22+a。 （2）

若l是過P與Q的公切線，則（1）（2）表示的是同一直線，所以2x1+2=-2x2，-x12=x22+a。 消去x2，得2x12+2x1+1+a=0，由題意知△=4-4×2（1+a）=0，所以a=-1/2，則x1=x2=-1/2，即點P與Q重合，此時曲線C1和C2有且僅有一條公切線，且公切線方程為x-y+14=0。

（三）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題

例6 求證：不等式x-

證明 構(gòu)造函數(shù)f1（x）=ln（1+x）-（x- ），則f1′（x）= -1+x= >0。

得知y=f1（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又因為x>0，所以f1（x）>f1（0）=0，即ln（1+x）>x- 成立。又構(gòu)造函數(shù)f2（x）=x- -ln（1+x），則f2′=1- - = >0。y=f2（x）.在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又x>0，則f2（x）>f2（0）=0，即x- >ln（1+x）成立.綜上，原命題成立。

（四）利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題

例7 求和：1+2x+3x2+…+nxn-1（其中x≠0，x≠1）。

解 注意到nxn-1是xn的導(dǎo)數(shù)，即（xn）′=nxn-1，可先求數(shù)列{xn}的前n和x+x2+…xn= = ，然后等式兩邊同時對x求導(dǎo)，有1+2x+3x2+…nxn-1= = 。

三、結(jié)束語

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是微積分學(xué)的重要組成部分，是解決許多問題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值：既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想。總之，開設(shè)導(dǎo)數(shù)不僅促進學(xué)生全面認識了數(shù)學(xué)的價值，而且發(fā)展了學(xué)生的辯證思維能力，也為今后進一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)。

【參考文獻】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）.第三版.北京：高等教育出版社，2001.91