反比例函數和一次函數的大小比較分析

一、教材的地位與作用

在中學數學學習中，反比例函數和一次函數是最重要的學習內容，也是學生學習的難點。反比例函數和一次函數是重要的數學模型，揭示了現實世界變量之間的關系，不僅一直是中考的熱點題目，而且對于實際問題的解決有重要意義。關于反比例函數和一次函數的大小比較題目，是對它們知識點的綜合運用。解答這類題目需要學生認真觀察，做好分析，并且進行合理的推理。

二、教學目標

（一）知識與技能

1.掌握反比例函數和一次函數的交點問題

2.能夠利用反比例函數和一次函數的特性進行大小比較

（二）數學思想

通過學習反比例函數和一次函數的大小比較，學會分析數學圖形，樹立數形結合的數學思想，提高學生獨立分析、獨立思考的能力。

（三）問題解決

掌握反比例函數和一次函數大小比較的基本方法，能夠解決其他相關的題目。

（四）情感態度

培養學生結合圖形，分析問題的能力，提高學生的學習興趣和求知欲。

三、教學重點和難點

教學重點：反比例函數和一次函數的交點以及大小比較。

教學難點：反比例函數和一次函數的大小比較。

四、教法和學法分析

教法：數形結合法、問題引入教學法、比較教學法。

學法：畫圖、比較、探究的學習方法。

五、教學過程

（一）提出問題，引入新課

如圖所示，反比例函數的圖像y1= ，一次函數的圖像y2=kx+b，兩函數的圖像相交于兩點，A（2，3）以及B點，與x軸相交于一點C（8，0），求兩個函數的解析式，并求當x的取值范圍是什么，y1大于y2。

教師：（1）這道題目有什么特點？會用到過去學過的哪些知識？

（2）這個圖形有什么特點？你能發現哪些東西？

（3）函數的解析式你們還記得嗎？根據問題和圖形，你們能不能找到解決問題的辦法？

設計意圖：教師問題的提出主要是讓學生回憶過去學過的，關于反比例函數和一次函數的知識，回顧舊的知識，引入新知識的學習。并且試著讓學生自己分析圖形，根據圖形獨立思考，發揮學生的能動性，看能不能解決反比例函數和一次函數大小比較的問題。

分析解題：這是一道基礎的綜合應用題，根據學過的知識，可以使用待定系數法求函數，再通過圖像確定自變量x的取值范圍，數形結合可以使復雜的問題簡單化。求出兩個函數的表達式之后，確定兩個函數的交點，根據圖形解答問題。解題過程如下：

將相交的點A（2，3）帶入反比例函數中，可以算出反比例函數的系數m=6，已知A點和C點的坐標，（2，3）（8，0），將它們分別帶入一次函數方程式中可以得到2k+b=38k+b=0，通過求解可以得到k=- ，b=4，將所有求得的未知數帶入兩個函數方程式中，可以得到y1= ，y2=- x+4，通過交點的特征可以求出B點的坐標為（6，1），根據圖像可得，所求x取值范圍是x<0或者2

（二）探索交流，學習新知識

教師：（1）同學們分組交流，根據以上的解題方法，在解決反比例函數和一次函數的大小比較問題上，最重要的解題思路是什么？

（2）反比例函數和一次函數有同號和異號的區別，它們的交點有什么特征？

設計意圖：通過問題，讓學生進行自由交流，自己總結知識要點。引出交點問題，學習新知識。

在解決反比例函數和一次函數的大小比較問題上，尋找交點是關鍵的解題過程。

如果反比例函數和一次函數的系數是同號時，兩函數交點在第一象限和第三象限。如果兩函數系數是異號，反比例函數的系數大于0，一次函數的系數小于0，如果相交，兩交點都在第一或者第三象限；反比例函數的系數小于0，一次函數的系數大于0，如果相交，兩交點都在第二或者第四象限。

（三）對知識進行梳理

在解決反比例函數和一次函數的大小比較問題上，借助圖形是最好的解題方式，同時要牢記反比例函數和一次函數的基本性質，做到數形結合，畫出圖像尋找交點，準確觀察畫出的垂直于x軸的直線和四個象限區域的特點，再進行大小的判定，圖像在上面的是大的，在下面的是小的。

（四）布置相關作業

結合本節課學習的內容，布置課本上的習題或者課外的習題作業，鞏固學生的知識，查找知識學習中的不足，有針對性地進行下一步的復習。

六、設計說明

通過本節課的學習，不僅要讓學生掌握反比例函數和一次函數大小比較的知識，也要從中培養學生的數學對比思想和思考問題的能力。通過問題激發學生學習的興趣，在課堂中充分發揮學生的主觀能動性，提高學生自覺學習的意識以及創新意識，重視學生的主體地位。利用學生之間的交流合作，進行知識的總結學習，增強學生學習的成就感，也活躍了課堂的氣氛。在教學中同時鼓勵學生獨立思考、分析數學問題、解決數學問題，并引導學生調動各個思維活動進行思考。鼓勵學生在函數的學習中能夠充分利用圖形解答題目，圖形具有直觀的特點，便于學生思考。引導學生有步驟的進行漸進式思維方式，充分利用推理、判斷等思維方法。同時培養學生的數學概括能力，使學生理解客觀世界的數量關系，啟發學生的概括思維和辯證思想。