活用圓中角 巧解中考題

角是幾何圖形中最重要的元素之一，而圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對(duì)稱性，又賦予了角極強(qiáng)的靈活性，使得角之間的相互轉(zhuǎn)化成為了解題的關(guān)鍵要素。初中階段圓中角的常用定理有一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角是90°；圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化圓中的角，往往能起到事半功倍的效果。本文擬從一道初三幾何選擇題的探究與解析中讓學(xué)生體會(huì)圓中角的靈活與妙用，一題多解使試題的講解真正發(fā)揮復(fù)習(xí)的效用，讓學(xué)生思維上通下達(dá)左關(guān)右聯(lián)，引發(fā)進(jìn)一步的啟示與思考。

題目：如圖（1），已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2 ，0），（0，2），P是△AOB外接圓上一點(diǎn)，且∠AOP=45°，則P點(diǎn)到x軸的距離為（ ）

A. B.2 C. + D. +1

基本思路分析：提到求P點(diǎn)到x軸的距離，大多數(shù)學(xué)生自然會(huì)第一時(shí)間將點(diǎn)P到x軸的垂線段作出來(lái)，繼而發(fā)現(xiàn)直角三角形，通過(guò)解直角三角形求解問(wèn)題。可是不少學(xué)生對(duì)于圓中角的條件挖掘不夠，雖然做出來(lái)，但計(jì)算相對(duì)繁瑣，容易出錯(cuò)。若能仔細(xì)觀察分析，活用圓中角的條件，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，更快速準(zhǔn)確求值。這里展示幾種不同解法供大家參考體會(huì)。

圖（1） 圖（2） 圖（3）

法1：直角建方程

利用勾股定理構(gòu)造方程，此為學(xué)生常用方法。

如圖（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M。

∵∠AOB=90°，∴AB為△AOB外接圓的直徑。∴∠APB=90°。

又∵∠PBA=∠POA=45°，∴△ABP為等腰直角三角形。

在Rt△AOB中，AB= =4，∴PA=2 。設(shè)PM=x，

則OM=PM=x，AM=2 -x，∴在Rt△PMA中，x2+（2 -x）2=（2 ）2，

整理得x2-2 x+2=0，解得x= ±1，因此選D。

多觀察一下還會(huì)發(fā)現(xiàn)，OP是∠AOB的角平分線，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN=PM，在Rt△PNB中，x2+（x-2）2=（2 ）2，計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)便一些。

法2：巧用特殊角

分析：在Rt△PMO中，∠POM=45°，所以PM= ，所以只需求出PO即可。

在Rt△AOB中，OB=2，OA=2 ，利用三角函數(shù)得∠BAO=30°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得∠BPO=∠BAO=30°，此時(shí)在△OBP中，就有兩個(gè)角是特殊角，因此，可過(guò)點(diǎn)B向OP作垂線，使得兩個(gè)特殊角在直角三角形中發(fā)揮更大功用，進(jìn)而求出OP，如圖（3）

解：過(guò)點(diǎn)B作BH垂直于OP于點(diǎn)H，

在Rt△BHO中，∠BOH=45°，OB=2，∴OH=BH= 。

在Rt△BHP中，∠BPH=30°，∴PH= BH= ∴OP= + 。

在Rt△OPH中，∠POH=45°∴PM= = +1。

法3：計(jì)算器助攻

由法一開始部分知PA=2 。在Rt△PMA中若能得知一個(gè)銳角，即可用三角函數(shù)求出PM，同法一法二求角的方法易得∠BAO=45°，∠PAB=30°，

所以∠PAM=75°，借助三角函數(shù)Sin75°= = ，所以PM=2 ×Sin75°，按計(jì)算器即可得到答案的近似值，從而選出選項(xiàng)。

法4：旋轉(zhuǎn)妙處多

分析：因?yàn)樗倪呅蜲APC是圓內(nèi)接四邊形，所以∠PAO+∠PBO=180°。易知△ABP為等腰直角三角形，所以PA=PB。這兩個(gè)元素為旋轉(zhuǎn)提供了非常便利的條件。等邊共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)是首選，而互補(bǔ)的角使得O、A、O′三點(diǎn)共線，更是將四邊形巧妙的轉(zhuǎn)化為了三角形，此時(shí)△POO′為等腰直角三角形，所以點(diǎn)P到x軸的距離即為等腰直角三角形斜邊OO′的一半。如圖（4）。

解：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，

同法1知△ABP為等腰直角三角形。

∵四邊形OAPC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠PAO+∠PBO=180°。

將△PBO繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△PAO′，則∠PAO′=∠PBO，PO=PO′，

∴∠PAO′+∠PBO=180°， ∴O、A、O′三點(diǎn)共線，

∴△POO′為等腰直角三角形，AO′=BO=2。

這里四種不同的方法，分別運(yùn)用了圓中角的常用定理，有的方法同時(shí)用到了多條。我們發(fā)現(xiàn)對(duì)圓中角的條件挖掘的越多，往往計(jì)算更為簡(jiǎn)便。同時(shí)在一題多解中靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)、方程建模，含特殊角直角三角形的邊角關(guān)系等數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生全面復(fù)習(xí)聯(lián)想，對(duì)學(xué)生的思維有很好的提升作用，從而真正發(fā)揮解題，講題的價(jià)值。