活用圓中角 巧解中考題

角是幾何圖形中最重要的元素之一，而圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對稱性，又賦予了角極強的靈活性，使得角之間的相互轉(zhuǎn)化成為了解題的關(guān)鍵要素。初中階段圓中角的常用定理有一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半；同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角是90°；圓內(nèi)接四邊形對角互補；靈活運用轉(zhuǎn)化圓中的角，往往能起到事半功倍的效果。本文擬從一道初三幾何選擇題的探究與解析中讓學(xué)生體會圓中角的靈活與妙用，一題多解使試題的講解真正發(fā)揮復(fù)習(xí)的效用，讓學(xué)生思維上通下達(dá)左關(guān)右聯(lián)，引發(fā)進(jìn)一步的啟示與思考。

題目：如圖（1），已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為（2 ，0），（0，2），P是△AOB外接圓上一點，且∠AOP=45°，則P點到x軸的距離為（ ）

A. B.2 C. + D. +1

基本思路分析：提到求P點到x軸的距離，大多數(shù)學(xué)生自然會第一時間將點P到x軸的垂線段作出來，繼而發(fā)現(xiàn)直角三角形，通過解直角三角形求解問題。可是不少學(xué)生對于圓中角的條件挖掘不夠，雖然做出來，但計算相對繁瑣，容易出錯。若能仔細(xì)觀察分析，活用圓中角的條件，可以簡化計算，更快速準(zhǔn)確求值。這里展示幾種不同解法供大家參考體會。

圖（1） 圖（2） 圖（3）

法1：直角建方程

利用勾股定理構(gòu)造方程，此為學(xué)生常用方法。

如圖（2）過點P作PM⊥x軸于點M。

∵∠AOB=90°，∴AB為△AOB外接圓的直徑。∴∠APB=90°。

又∵∠PBA=∠POA=45°，∴△ABP為等腰直角三角形。

在Rt△AOB中，AB= =4，∴PA=2 。設(shè)PM=x，

則OM=PM=x，AM=2 -x，∴在Rt△PMA中，x2+（2 -x）2=（2 ）2，

整理得x2-2 x+2=0，解得x= ±1，因此選D。

多觀察一下還會發(fā)現(xiàn)，OP是∠AOB的角平分線，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=PM，在Rt△PNB中，x2+（x-2）2=（2 ）2，計算會簡便一些。

法2：巧用特殊角

分析：在Rt△PMO中，∠POM=45°，所以PM= ，所以只需求出PO即可。

在Rt△AOB中，OB=2，OA=2 ，利用三角函數(shù)得∠BAO=30°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得∠BPO=∠BAO=30°，此時在△OBP中，就有兩個角是特殊角，因此，可過點B向OP作垂線，使得兩個特殊角在直角三角形中發(fā)揮更大功用，進(jìn)而求出OP，如圖（3）

解：過點B作BH垂直于OP于點H，

在Rt△BHO中，∠BOH=45°，OB=2，∴OH=BH= 。

在Rt△BHP中，∠BPH=30°，∴PH= BH= ∴OP= + 。

在Rt△OPH中，∠POH=45°∴PM= = +1。

法3：計算器助攻

由法一開始部分知PA=2 。在Rt△PMA中若能得知一個銳角，即可用三角函數(shù)求出PM，同法一法二求角的方法易得∠BAO=45°，∠PAB=30°，

所以∠PAM=75°，借助三角函數(shù)Sin75°= = ，所以PM=2 ×Sin75°，按計算器即可得到答案的近似值，從而選出選項。

法4：旋轉(zhuǎn)妙處多

分析：因為四邊形OAPC是圓內(nèi)接四邊形，所以∠PAO+∠PBO=180°。易知△ABP為等腰直角三角形，所以PA=PB。這兩個元素為旋轉(zhuǎn)提供了非常便利的條件。等邊共頂點，旋轉(zhuǎn)是首選，而互補的角使得O、A、O′三點共線，更是將四邊形巧妙的轉(zhuǎn)化為了三角形，此時△POO′為等腰直角三角形，所以點P到x軸的距離即為等腰直角三角形斜邊OO′的一半。如圖（4）。

解：過點P作PM⊥x軸于點M，

同法1知△ABP為等腰直角三角形。

∵四邊形OAPC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠PAO+∠PBO=180°。

將△PBO繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△PAO′，則∠PAO′=∠PBO，PO=PO′，

∴∠PAO′+∠PBO=180°， ∴O、A、O′三點共線，

∴△POO′為等腰直角三角形，AO′=BO=2。

這里四種不同的方法，分別運用了圓中角的常用定理，有的方法同時用到了多條。我們發(fā)現(xiàn)對圓中角的條件挖掘的越多，往往計算更為簡便。同時在一題多解中靈活運用旋轉(zhuǎn)、方程建模，含特殊角直角三角形的邊角關(guān)系等數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)學(xué)生全面復(fù)習(xí)聯(lián)想，對學(xué)生的思維有很好的提升作用，從而真正發(fā)揮解題，講題的價值。