平行四邊形，你找全了嗎

浙江省寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院數(shù)學(xué)組 滕 麗

縱觀近幾年中考，有這樣一類問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知一些點(diǎn)的坐標(biāo)，求可以構(gòu)成平行四邊形的其他點(diǎn)的坐標(biāo)，若再以拋物線等為背景，加大了題目的綜合性，備受中考命題者的青睞。這類問(wèn)題因?yàn)槠叫兴倪呅蔚倪吇驅(qū)蔷€的不確定性，需要分類討論，而考生如果沒(méi)有弄清分類標(biāo)準(zhǔn)常常會(huì)導(dǎo)致漏解。筆者從近幾年的中考題中整理出三種類型，與各位同仁交流。

類型1：已知三個(gè)定點(diǎn)，找第四個(gè)點(diǎn)，使得以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

分析：已知三個(gè)點(diǎn)A、M、N，求第四個(gè)點(diǎn)D，使其構(gòu)成平行四邊形，可以按邊進(jìn)行分類：①以AM、MN為一組鄰邊，AN為對(duì)角線；②以AN、MN為一組鄰邊，AM為對(duì)角線；③以AM、AN為一組鄰邊， MN為對(duì)角線。滿足條件的點(diǎn)D的位置可能有如圖1所示的三種情形。

解：易得A（0，2），B（4，0），M（2，1），N（2，5）。

當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，a），由AD＝MN得|a-2|＝4，解得a1＝6，a2＝-2，從而點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6）或（0，-2）。

當(dāng)點(diǎn)D不在y軸上時(shí)，由圖可知點(diǎn)D為D1N與D2M的交點(diǎn)。

圖1

小結(jié)：已知三個(gè)定點(diǎn)A、B、C，可以確定△ABC，過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線，三條平行線兩兩相交有三個(gè)交點(diǎn)，這三個(gè)交點(diǎn)就是平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置。一般地，如果已知三點(diǎn)坐標(biāo)A（a1，b1）、B（a2，b2）、C（a3，b3），根據(jù)點(diǎn)的平移坐標(biāo)變化規(guī)律，可知以AB、BC為一組鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a1+a3-a2，b1+b3-b2），其他情況同理可得。

類型2：已知兩個(gè)定點(diǎn)，找兩個(gè)點(diǎn)，使得這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

例2 如圖2，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C。（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式。（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以A，O，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

分析：已知兩個(gè)定點(diǎn)A，O，分別在拋物線及其對(duì)稱軸上找兩個(gè)點(diǎn)D，E，使得構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，分兩種情況討論：①OA為對(duì)角線，D，E關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)D與點(diǎn)C重合；②OA為平行四邊形的一邊，則DE∥OA，DE=OA=2。

解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax（x-2）。

∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（3，3），∴3＝3（3-2）a，∴a＝1，∴y=x2-2x。

（2）若OA為對(duì)角線，∵C（1，-1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（1，-1）。

若OA為平行四邊形的一邊，則DE＝OA=2。

∵點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，

圖2

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3或-1，代入y＝x2-2x，得D（3，3）或D（-1，3）。

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-1）或（3，3）或（-1，3）。

小結(jié)：已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B，找兩個(gè)點(diǎn)C、D，使得以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，這兩個(gè)點(diǎn)確定線段AB，分別以AB為邊或?qū)蔷€進(jìn)行分類討論。一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），D（d1，d2），那么有：a1＋c1＝b1＋d1，a2＋c2＝b2＋d2，即相對(duì)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，相對(duì)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和相等。

類型3：已知兩個(gè)定點(diǎn)，找兩個(gè)點(diǎn)，使得這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形

分析：若以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則△ODM是等腰三角形，分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)MD、MO為菱形的鄰邊時(shí)，OD是△ODM的底邊，點(diǎn)M在OD的垂直平分線上；②當(dāng)OD、OM為菱形的鄰邊時(shí)，DM為△ODM的底邊，點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，OD長(zhǎng)為半徑的圓與直線的交點(diǎn)處；③當(dāng)DO、DM為菱形的鄰邊時(shí)，OM為△ODM的底邊，點(diǎn)M在以D為圓心，OD長(zhǎng)為半徑的圓與直線的交點(diǎn)處。

解：由已知得D（0，5）。

①如圖4，當(dāng)MD=MO時(shí)，MN與DO互相垂直平分，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)。

圖3

圖4

圖5

圖6

小結(jié)：已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B，找兩個(gè)點(diǎn)C、D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分別以AB為底邊或腰進(jìn)行分類，確定第三個(gè)點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化成類型1的情形。另外要注意充分利用題目中的平行或相等關(guān)系，簡(jiǎn)化尋找過(guò)程。