淺談初中數學中全等三角形

【摘 要】全等三角形是初中數學幾何圖形中重要的一章，在幾何證明題中也經常運用到構造全等三角形來證明線段相等或者角度相等。全等三角形的判定也是常考的知識點，它在生活中的運用也很廣泛。因此，本文將從全等三角形的構造、判定以及在生活中的實際應用進行分析。

【關鍵詞】初中數學；全等三角形；構造；判定；實際應用

全等三角形是人教版八年級上冊的知識點，它為學習后面的相似三角形和四邊形做好鋪墊。掌握全等三角形是做一系列復雜的幾何證明題的前提，因為在幾何證明中經常用到全等三角形證明線段相等和角度相等。如果沒有掌握好全等三角形，很多幾何證明題會變得棘手。在現實生活中，很多問題可以用全等三角形來解決，例如用全等來測河面的距離等。

一、全等三角形的構造

在初中的幾何證明題中，有時題目給出的圖形是沒有現成的全等三角形，需要學生自己想辦法去構造。那么問題來了，如何構造全等三角形呢？構造全等三角形，從大方向來說主要有2種方法：旋轉法和作輔助線法。作輔助線一般都是指中線、角平分線、三角形的高、平行線等等。

1.旋轉法構造全等三角形

旋轉法構造全等三角形通常是通過旋轉對應線段或者旋轉等腰三角形的頂角來得到。

旋轉等腰三角形的頂角一定角度，得到全等的三角形也是跟旋轉三角形對應線段所用的思想是一樣的。

2.作輔助線構造全等三角形

三角形的輔助線我們一般用得較多的是中線、角平分線和三角形的高。但是通過作平行線來構造全等三角形這種方法就比較少用，下面筆者主要分析作平行線來構造全等三角形。因為只要提到線段的中點，我們很容易想到把中點和頂角連接起來；提到角度，也容易想起角平分線；提到直角三角形或者等腰三角形，會想起三角形的高。唯獨平行線我們是最容易遺忘的一種輔助線。

如上圖，△ABC中，∠B=∠C，D是AB上的一點，CE=BD，求證：FD=FE。仔細觀察左圖，并沒有全等三角形，而證明兩條線段相等的最常用方法為，證明這兩線段所在的三角形全等。過點D作平行線DG交于BC于點G，這樣在圖形上就出現了一組全等三角形△DGF和△EFC，再利用題目給出的已知條件即可證明這組三角形全等，FD=FE也得以求證。為什么在這里要利用作輔助線平行線而不是其他的線呢？因為題目里面沒有提到角度也沒有提到重點，所以只能嘗試平行線，而且平行線可以得出角度相等。

總之，發現題目給出的圖形沒有全等三角形，但是求證的是角度相等或者線段相等，最簡單直接的方法就是構造出一組全等三角形。

二、全等三角形的判定

課本上提到了5種證明全等三角形的判斷定理：①邊角邊（SAS）②角邊角（ASA）③邊邊邊（SSS）④角角邊（AAS）⑤斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）。在這里教師要提醒學生，在這5組判斷定理中，最后一組必須要在直角三角形中才能使用，另外的4組沒有限制。其中“邊邊邊”是最容易判斷的，只要證明兩個三角形的三條邊長度相等即可得出這兩個三角形為全等三角形。

三、全等三角形的實際應用

在生活中我們發現很多東西，由于地理位置或者物體自身形狀所導致部分的長度尺寸很難用測量工具去測出來。這時候利用全等三角形的概念，把實際問題轉化成數學問題來解決。

例如：河流寬度的測試，容器內徑的測試（如下圖）

作圖中，如果按照常規方法要測該池塘的長度，要在水面上測量，這樣的方法是麻煩和困難的，但通過全等三角形在平地上建立模型，測量另外一條和AB相等的邊的長度是比較容易，我們可以先在平地上找一點，可以直接分別達到A、B兩點的C，連接AC并延長到點D，使DC=AC；連接BC并延長到點E，使BC=CE，再根據全等三角形的判斷定理邊角邊求證△ACB≌△DCE，則得出DE=AB，直接在平地量出DE的長度即為AB的長度。容器的內徑檢測的工具卡鉗，所用的也是全等三角形的定理，圖中相交的實線即為卡鉗的形狀，是根據全等三角形的性質來制作的。

由此可見，學好全等三角形性質和定理，不僅是為了應付考試，更多的可以運用這個定理來解決生活中比較棘手的問題，化困難為容易。全等三角形這個概念還會促進一些生產測量用具的誕生的。數學理論和生活聯系起來才是最有意義的。

【參考文獻】

[1]馬亞麗.問題來了：如何構造全等三角形解題.中學生數理化，2014（12）：14-15

[2]施克全.判定全等三角形的方法提煉.成才之路，2014（24）：86

[3]李圣春，萬春.利用全等三角形解決實際問題.初中生世界，2014（38）：29-30

[4]陳辰俠.例談“旋轉法”構造全等三角形，外顯解題思路與技巧.數學學習與研究，2015（08）：126