淺談高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)

【摘 要】概念是思維的基本形式，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的集中表現(xiàn)。概念是進(jìn)行判斷、推理和建立定理的基礎(chǔ)。在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)要重視概念產(chǎn)生的本源，明確其定義的由來(lái)，抓住定義中的關(guān)鍵字詞，利用類(lèi)比的方法來(lái)加深對(duì)概念的理解。培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】概念；定義；關(guān)鍵字詞；類(lèi)比

概念是思維的基本形式，正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念，可以幫助我們掌握知識(shí)，發(fā)展技能，培養(yǎng)思維。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，會(huì)遇到很多數(shù)學(xué)概念，它們是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。對(duì)數(shù)學(xué)概念有了清晰、深刻的理解，對(duì)于后續(xù)的定理、性質(zhì)等的學(xué)習(xí)是大有裨益的。而在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，有不少教師卻抱有急功近利的思想，在教學(xué)時(shí)直接將概念，定義拋給學(xué)生，接著就開(kāi)始要求學(xué)生大量做題，短期內(nèi)學(xué)生做題目的正確率還可以。但是長(zhǎng)此以往，學(xué)生對(duì)概念的理解顯然不到位，容易出現(xiàn)概念不清，概念混淆等各種錯(cuò)誤。同時(shí)，也很不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，會(huì)阻礙學(xué)生能力的提升。可以這樣說(shuō)，概念清晰了，思路才會(huì)清。那么應(yīng)該如何來(lái)開(kāi)展概念教學(xué)呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)。

一、知曉概念的來(lái)龍去脈，明確其定義的合理性和科學(xué)性

高中數(shù)學(xué)中的不少概念，都有其深厚的數(shù)學(xué)背景。他們是由一代一代的數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)艱苦卓絕的努力創(chuàng)建并不斷加以完善得到的。在講解這些數(shù)學(xué)概念前，應(yīng)該首先將概念創(chuàng)立的背景介紹給學(xué)生。這樣不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以豐富他們數(shù)學(xué)史的知識(shí)，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

如在講解虛數(shù)概念的時(shí)候，可以首先向?qū)W生介紹虛數(shù)的創(chuàng)立過(guò)程，它是經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)期而曲折的過(guò)程才漸漸被人們所接受。在了解了虛數(shù)的由來(lái)后，接著再來(lái)學(xué)習(xí)虛數(shù)的概念，如此，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的同時(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

定義是準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式。在學(xué)習(xí)概念時(shí)，我們還要向?qū)W生明確其定義的合理性和科學(xué)性。對(duì)概念的定義不僅要知其然，還要知其所以然。如在學(xué)習(xí)異面直線所成角的定義時(shí)，應(yīng)該先回顧異面直線的定義，即空間中不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。接著提問(wèn)學(xué)生異面直線的位置關(guān)系該用什么來(lái)刻畫(huà)呢？通過(guò)觀察自然想到用角度來(lái)衡量，但異面直線并不在一起，沒(méi)有現(xiàn)成的角度。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生作平行線，轉(zhuǎn)化成相交直線來(lái)看角度，并發(fā)現(xiàn)兩條相交直線產(chǎn)生四個(gè)角，且對(duì)頂角兩兩相等，那么只要考察兩個(gè)角就夠了。而這兩個(gè)角中應(yīng)選擇其中較小的角，即相交直線所成的銳角或直角來(lái)作為兩異面直線所成的角會(huì)比較方便。最后，師生對(duì)定義中在空間任取一點(diǎn)的科學(xué)性進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)其理論根據(jù)是等角定理。經(jīng)過(guò)這一番分析，學(xué)生便會(huì)覺(jué)得此定義合情合理，并不由自主地對(duì)數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)密性和科學(xué)性產(chǎn)生由衷的欽佩，進(jìn)而激發(fā)出自己學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、抓住概念定義中的關(guān)鍵字詞，逐個(gè)突破，強(qiáng)化對(duì)概念的理解

在高中數(shù)學(xué)概念的定義中，一般都會(huì)有關(guān)鍵的字詞，它們是概念的靈魂所在。抓住了它們，就能把握住整個(gè)概念，并能深化我們對(duì)概念的理解。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)要求學(xué)生自己去尋找到其定義中的關(guān)鍵字詞，并認(rèn)真加以揣摩，體會(huì)。

如集合的定義是：一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合。集合是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中接觸到的第一個(gè)概念。學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)鍵詞是確定的，不同的。這兩個(gè)詞正好對(duì)應(yīng)到集合中的兩個(gè)性質(zhì)，即確定性和互異性。

又如函數(shù)的定義是：兩個(gè)非空的數(shù)集A，B，若按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)就稱之為是從A到B的一個(gè)函數(shù)。教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義中的關(guān)鍵詞是非空的數(shù)集、每一個(gè)、都有、唯一的。找到這些關(guān)鍵詞后，就要對(duì)它們認(rèn)真去分析，這些關(guān)鍵詞理解到位了，可以說(shuō)，函數(shù)的概念也就理解透徹了。即函數(shù)其實(shí)就是一種特殊的對(duì)應(yīng)，一個(gè)輸入值要對(duì)應(yīng)到唯一的輸出值，要么是“一對(duì)一”，或者是“多對(duì)一”，但不能是“一對(duì)多”。

所以說(shuō)，概念中的關(guān)鍵字詞抓住了之后，學(xué)生就理清了概念的脈絡(luò)，不僅可以使我們輕松地記住整個(gè)定義，還可以吃透概念。

三、開(kāi)展類(lèi)比教學(xué)，注意概念之間的比較，辨析

高中數(shù)學(xué)中的不少概念之間，存在著緊密的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)這些概念時(shí)，我們要堅(jiān)持用聯(lián)系的觀點(diǎn)去看問(wèn)題。例如，在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的定義時(shí)，應(yīng)該要先回憶等差數(shù)列的定義，即一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差。注意到等比數(shù)列和等差數(shù)列這兩個(gè)概念就相差一個(gè)字，它們的定義也應(yīng)該相差無(wú)幾。類(lèi)比之后，可以讓學(xué)生自己嘗試給出等比數(shù)列的定義。接著，等比數(shù)列的性質(zhì)也應(yīng)類(lèi)比等差數(shù)列由學(xué)生自主去發(fā)現(xiàn)。通過(guò)辨析，明確了兩者之間的異同，學(xué)生自然會(huì)對(duì)此印象深刻，不易遺忘。此外，教材上的映射和函數(shù)，雙曲線和橢圓，幾何概型和古典的概型，指數(shù)和對(duì)數(shù)，平面向量和空間向量等，都應(yīng)拿來(lái)做比較，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上將未知轉(zhuǎn)化為已知，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉的思想。

除了將數(shù)學(xué)教材上的概念來(lái)進(jìn)行對(duì)比之外，有時(shí)可以跨學(xué)科來(lái)進(jìn)行比較。在學(xué)習(xí)向量的概念時(shí)，可以告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)上的向量在物理上稱之為矢量，兩者是一回事，只不過(guò)在不同的學(xué)科上叫法不同而已。因?yàn)槭噶吭谖锢砩蠈W(xué)生早就學(xué)過(guò)，自然也會(huì)輕松地掌握向量這個(gè)概念，而且也讓學(xué)生了解到基礎(chǔ)學(xué)科之間存在著緊密的聯(lián)系。

通過(guò)概念與概念之間的比較，辨析。學(xué)生就會(huì)找到概念與概念之間的聯(lián)系，區(qū)別。明確了它們之間的同與不同，印象自然會(huì)更加深刻。對(duì)知識(shí)的掌握會(huì)更牢固。有時(shí)，除了掌握教科書(shū)上的概念之外，教師可采用類(lèi)比教學(xué)的方法進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維。比如，在學(xué)習(xí)了解析幾何后。學(xué)生了解了平面上到兩定點(diǎn)之間的距離的和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。平面上到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值為正常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡為雙曲線。然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生，距離的和、差分別對(duì)應(yīng)到的是橢圓和雙曲線。那么如果是距離的積，商又會(huì)是什么曲線呢？這樣的想法是很自然的，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，滿足了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)完備性的需求。學(xué)生自然會(huì)興趣盎然地去探究，之后，教師可以一起分享學(xué)生的探究成果，師生，生生之間一起分享數(shù)學(xué)探究后的快樂(lè)。

四、概念教學(xué)時(shí)要通過(guò)問(wèn)題加深對(duì)概念的理解

問(wèn)題是課堂教學(xué)的核心，它貫穿在課堂教學(xué)的始終。在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)自然也不例外。在講解概念時(shí)，若只是關(guān)注概念本身，學(xué)生對(duì)概念的掌握就不會(huì)到位，理解就不能深入。必須要提出問(wèn)題，舉些例子。首先，教師先舉些例子，請(qǐng)同學(xué)來(lái)判斷是否和概念相吻合，接著讓學(xué)生自己去找一些實(shí)例，和所學(xué)的概念相對(duì)應(yīng)。如向量是既有方向，又有大小的量。可以提問(wèn)學(xué)生，速度，位移，質(zhì)量等是否屬于向量。然后讓學(xué)生舉些生活中的向量的例子。再如在學(xué)習(xí)隨機(jī)事件的概念時(shí)，也可以給出一些事件，請(qǐng)學(xué)生來(lái)判斷哪些是隨機(jī)事件，接著就要求學(xué)生自己舉出隨機(jī)事件的例子來(lái)。以上提出問(wèn)題的兩個(gè)環(huán)節(jié)，具有普遍適用性，在講解高中數(shù)學(xué)的概念時(shí)，都可以按照這個(gè)模式來(lái)操作。這樣不僅可以加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

五、以概念為核心，建構(gòu)數(shù)學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

在高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)章節(jié)中，概念、定義是核心。在此基礎(chǔ)上會(huì)衍生出一些定理、性質(zhì)、推論等，這些就構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)。在每一章節(jié)學(xué)習(xí)完之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自己去繪制本章節(jié)的知識(shí)框圖，這樣一來(lái)可以讓學(xué)生系統(tǒng)的掌握本章所學(xué)的知識(shí)，并加深對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用。在繪制知識(shí)框圖的時(shí)候，第一次不要去看書(shū)本，憑自己的記憶去寫(xiě)，這樣可以檢驗(yàn)自己對(duì)本章知識(shí)的掌握程度。具體操作先是將概念及其定義寫(xiě)出來(lái)，接著將性質(zhì)，定理，公式等也寫(xiě)出來(lái)，并使之構(gòu)成一個(gè)有機(jī)的整體。接著對(duì)照書(shū)本，看自己所寫(xiě)的知識(shí)點(diǎn)有沒(méi)有錯(cuò)誤和遺漏的地方，錯(cuò)誤之處及時(shí)進(jìn)行糾正，并查漏補(bǔ)缺。經(jīng)過(guò)完善之后，第二次再重新繪制，并在知識(shí)點(diǎn)旁邊配上一些典型的題目，以便更好的掌握知識(shí)。繪制完知識(shí)點(diǎn)的圖表之后，學(xué)生之間應(yīng)互相交流，取長(zhǎng)補(bǔ)短。教師也可以對(duì)他們進(jìn)行指導(dǎo)，以幫助其進(jìn)步。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就能建構(gòu)出自己知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，有助于系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

總之，概念是進(jìn)行判斷、推理和建立定理的基礎(chǔ)，是進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)的必要步驟。概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中占有重要的地位，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程，我們只要按照以上的幾點(diǎn)來(lái)開(kāi)展概念教學(xué)，相信必定會(huì)收到理想的效果。