學(xué)好集合，帶你穿越高中數(shù)學(xué)

【摘 要】集合語言是近代數(shù)學(xué)的基本語言，利用它可以簡潔準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象，為理解函數(shù)概念，研究函數(shù)的性質(zhì)提供有力的工具。作為高中數(shù)學(xué)的起始課，教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想和方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，對于剛剛步入高中學(xué)生來說至關(guān)重要，良好的開端是成功的前提。從教材內(nèi)容定位，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)集合暴露的問題和教學(xué)實踐，提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】集合；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，符號化、形式化是數(shù)學(xué)的顯著特點。從某種意義上來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)一種有特定含義的形式化語言，以及用這種形式化語言去表述解釋解決各種問題。集合論是數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)末創(chuàng)立的，集合語言是近代數(shù)學(xué)的基本語言，利用它可以簡潔準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象，為理解函數(shù)概念，研究函數(shù)的性質(zhì)提供有力的工具。作為高中數(shù)學(xué)的起始課，教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想和方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，對于剛剛步入高中學(xué)生來說至關(guān)重要，良好的開端是成功前提，所以集合章節(jié)的教學(xué)要引起我們的充分重視。現(xiàn)結(jié)合筆者對集合的教學(xué)體會，談?wù)勛约旱睦斫狻?/p>

一、教材內(nèi)容分析

本章包含了集合的含義、表示方法和運算三個部分的內(nèi)容，整體設(shè)計思路是從具體到理論，再回到具體，螺旋上升。教材通過實例，引導(dǎo)學(xué)生理解集合的特征，并從不同的角度學(xué)習(xí)和理解集合的表示方法。通過觀察具體的集合，從“數(shù)”和“形”兩方面使學(xué)生感受并歸納出集合與集合的關(guān)系。教材中充分利用韋恩圖和數(shù)軸等幫助學(xué)生形象地理解集合的含義與運算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。所以在教學(xué)中要滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，在引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、類比得到集合與集合的關(guān)系等數(shù)學(xué)知識的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。集合的章節(jié)內(nèi)容教與學(xué)，為學(xué)生提供了一個由初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過度平臺，為高中階

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（上接第3頁）

段函數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，從集合和對應(yīng)的角度去理解函數(shù)概念，用符號語言來表示函數(shù)和精確刻畫函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容。

二、學(xué)生在集合學(xué)習(xí)中暴露的問題

集合內(nèi)容是高一新生進(jìn)入高中接觸的全新內(nèi)容，符號化、形式化是它的顯著特征。集合作為一種數(shù)學(xué)語言，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中是一種重要的工具（利用集合語言表示函數(shù)定義域值域，方程及不等式的解等等），在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生使用恰當(dāng)集合語言表述數(shù)學(xué)內(nèi)容。理解集合含義，解決數(shù)學(xué)問題就顯得格外重要了。為了學(xué)生能夠順利的進(jìn)行后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在教學(xué)中我們要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)集合時出現(xiàn)的以下問題：數(shù)學(xué)形式化表示不規(guī)范，邏輯連接詞“或”“且”不理解導(dǎo)致使用不恰當(dāng)，主要出現(xiàn)在集合的交并補(bǔ)運算中；對集合中元素代表的意義不理解或理解錯誤；由具體到一般的抽象表達(dá)能力欠缺，主要體現(xiàn)在文字語言敘述轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)募媳硎荆涣信e法、描述法、圖示法的有效轉(zhuǎn)化與靈活運用；利用韋恩圖或數(shù)軸解決集合子、交、并、補(bǔ)問題時漏洞百出，缺少數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。

三、教學(xué)中采取的有效策略

1.加深理解，規(guī)范表達(dá)

集合章節(jié)內(nèi)容對于剛剛由初中步入高中的學(xué)生來說是比較陌生抽象的，并且涉及的概念較多，表達(dá)形式各有不同，在集合的表示和理解上都存在一定的困難所以在教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生對概念的理解，規(guī)范集合的表示對集合的意義理解是初學(xué)者的難點，這也是集合子交并補(bǔ)運算錯誤的一個重要原因。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對列舉法表示的集合理解和運用表現(xiàn)的更好，而對描述法表示的集合理解運用則是錯誤不斷。對集合理解關(guān)鍵要抓住“代表元”這個“語法”特征，例如：

2.教材為主，以變引申，以辨激趣

集合的符號化、形式化、工具化的特征決定了它是枯燥無味的，僅局限于教材的例習(xí)題的講解會讓學(xué)生滿足于現(xiàn)狀，不利于思維能力的提高。以課本為主，對某個數(shù)學(xué)問題進(jìn)行由淺入深的拓展變式引申激發(fā)學(xué)生火熱的思考從學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，搭建平臺，引導(dǎo)學(xué)生主動參與，積極辨析，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣（好多同學(xué)本有一顆火熱的心，但集合學(xué)完心變得冰涼）。

例如：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的關(guān)系。本題講解時可由課本題目逐漸變式引申至本題：

問題1：集合A={1，2}列舉集合A的所有子集。（蘇教版必修1P91（2））

問題2：已知集合A={1，2}，B={x|mx+1=0}，B？哿A，求m的值。

問題3：已知集合A={1，2}，B={x|x2+mx+n=0}且B？哿A求m，n的關(guān)系。

讓學(xué)生觀察和比較，矯正辨析，當(dāng)問題3解決了，我們要講的問題也就自然解決了，在考察集合子集關(guān)系時學(xué)生就不那么容易忽略空集了，同時也滲透了分類討論的思想。本題還可以拓展到兩個無限數(shù)集之間的子集關(guān)系求解，如：已知集合A={x|1≤x≤9}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，且B？哿A求a的取值范圍。本題可在“已知A={x|x<2}，B={x|x？哿A，求實數(shù)m的取值范圍。基礎(chǔ)上進(jìn)行變式形成，同時講解過程注意端點是否可取的辨析，分類討論思想的滲透。在變式引申，搭建平臺時要考慮學(xué)生的實際情況，“小步子上臺階”，切勿操之過急。允許一部分同學(xué)“先富起來”，但要避開偏題怪題，對課本例習(xí)題的變式引申“適可而止”。

3.細(xì)化教學(xué)過程，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

集合章節(jié)概念比較多，數(shù)學(xué)概念本身往往蘊含某種思想方法，教學(xué)時我們要重視其發(fā)生過程的教學(xué)。應(yīng)當(dāng)善于引導(dǎo)學(xué)生通過感性的直觀背景材料或已有的知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不過早的給出結(jié)論，應(yīng)弄清抽象概括的過程，充分展示自己是怎樣去思考的，使學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想方法。例如在講解子集和補(bǔ)集概念時，教材列舉幾組具體的集合：

（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2} （2）A={x|x≥1}，B={x|x≥2} （3）S=R，A={x|x≥1}，B={x|x≥1}讓學(xué)生通過元素與集合之間的關(guān)系體會集合與集合的關(guān)系。對于列舉法表示的集合可以韋恩圖來形象的表示子集和補(bǔ)集，對于描述法表示的無限數(shù)集可借助數(shù)軸幫助學(xué)生理解這些概念。蘇教版必修1第9頁的例題3的求解方法使學(xué)生加深了概念的理解，并會用數(shù)軸進(jìn)行補(bǔ)集運算，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在補(bǔ)集概念之后可以讓學(xué)生通過思考：若S={1，2，5}，A=？準(zhǔn)，則CSA=_____；CSS=____。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合韋恩圖討論得出補(bǔ)集的性質(zhì)，由圖形的直觀性進(jìn)一步理解補(bǔ)集的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

集合章節(jié)的教學(xué)中，要讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想。在學(xué)法上，鼓勵學(xué)生多動腦，多動口，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，加深對概念的理解。通過積極的參與，逐漸增強(qiáng)理解力，掌握數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，體驗成功的喜悅，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【參考文獻(xiàn)】

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