談數(shù)學(xué)之美

摘要：客觀世界的實際事物，在人們認(rèn)識之前已經(jīng)存在，后來被發(fā)現(xiàn)了，這是發(fā)現(xiàn)；客觀世界中本無對應(yīng)的實際事物或現(xiàn)象，卻被人們依據(jù)一定的手段創(chuàng)造出來了，這是發(fā)明.然而，在某些科學(xué)研究中，特別是數(shù)學(xué)這門科學(xué)，要分清什么是“發(fā)現(xiàn)”的，什么是“發(fā)明”的，并不是件容易的事.數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的，還是發(fā)明的，長期存在著不同的看法.

關(guān)鍵詞：發(fā)明，發(fā)現(xiàn)，0，費馬大定理

在廣泛的科學(xué)研究中，人們對不斷涌現(xiàn)出來的大量科研成果，經(jīng)常使用“發(fā)現(xiàn)”和“發(fā)明”這兩個詞.對于它們的使用一般是有所區(qū)別的：客觀世界的實際事物，在人們認(rèn)識之前已經(jīng)存在，后來被發(fā)現(xiàn)了，這是發(fā)現(xiàn)；客觀世界中本無對應(yīng)的實際事物或現(xiàn)象，卻被人們依據(jù)一定的手段創(chuàng)造出來了，這是發(fā)明.“發(fā)現(xiàn)”一詞人們多用于自然科學(xué)領(lǐng)域，二“發(fā)明”則多用于技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域.例如，蒸汽、電、原子、……是被人們發(fā)現(xiàn)的，蒸汽機、電話、原子彈……則是被人們發(fā)明的。

然而，在某些科學(xué)研究中，特別是數(shù)學(xué)這門科學(xué)，要分清什么是“發(fā)現(xiàn)”的，什么是“發(fā)明”的，并不是件容易的事.數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的，還是發(fā)明的，長期存在著不同的看法.

就拿“0”這個符號來說吧，我們對它太熟悉了，人們在學(xué)習(xí)、工作和生活中，幾乎天天都要和它打交道，“0”已經(jīng)滲透到我們生活中的各個領(lǐng)域.那么，你能回答“0”是“發(fā)現(xiàn)”的，還是“發(fā)明”的？對此，你也許沒有深思熟慮，不敢斷言；也可能覺得問題太簡單了，很容易回答是“發(fā)現(xiàn)”的或是“發(fā)明”的.但當(dāng)你要肯定二者之一時，且慢，還是慎重做一番考慮再下結(jié)論也不遲.

回顧歷史，可知“0”的概念和符號的出現(xiàn)實非易事.在古代人類的生產(chǎn)和生活活動中，很早就有了自然數(shù)的概念，但卻沒有“0”的概念，因為人類在“繩結(jié)計數(shù)”時期，只需要用繩結(jié)記住打了幾只羊，采了幾顆果等事情，還用不上“0”.至于“0”符號的出現(xiàn)則更晚了.在人們發(fā)明并使用了“位置計數(shù)法”以后，計數(shù)時對某一位置設(shè)有數(shù)字的這種“缺位”現(xiàn)象，就必須采用一種符號來表明.在中國古代的“算籌”演算中，就是用空位來表示“0”的，直到今天，中國的珠算中，仍然是采用空位法來表示“0”的.然而，用空位法表示“0”的方法在實踐中逐漸暴露出缺點，尤其是在計算和書寫總?cè)菀自斐慑e誤.在中國，后來人們就用“□”表示“0”，再后來就用“○”表示.在公元3～4世紀(jì)，印度人用小圓點“·”表示“0”；公元683年的印度桑坡碑文用符號表示605，公元684年印度巴凌滂碑文中用符號表示606，表示60，這是現(xiàn)有資料中用“0”的最早記載.大約在公元6世紀(jì)，“0”初次傳到歐洲，但羅馬教皇認(rèn)為“0”是“異端學(xué)說”，曾宣布：“數(shù)是上帝創(chuàng)造的，不允許這個邪物‘0’玷污神圣的數(shù).”然而，科學(xué)真理是不可戰(zhàn)勝的，“0”以其特有的優(yōu)點被人們所接受，并很快通行于全世界.

“0”在現(xiàn)實世界中反映著極其豐富的內(nèi)容，我們來看一個簡單的例子—師生對話：

老師：班上有多少個男同學(xué)生？

學(xué)生：0個.

老師：班上男同學(xué)來了幾個？

學(xué)生：0個.

老師：班上出去了幾個男同學(xué)？

學(xué)生：0個.

在這三組問答中，學(xué)生回答的都是一樣的：“0個”.但是所反映的事實卻分別不同.第一組的“0”指班上沒有男同學(xué)；第二組的“0”不表示班上沒有男同學(xué)，只是男同學(xué)都沒來而已；第三組的“0”既不表示班上有男同學(xué)，也不表示班上沒有男同學(xué)，而是指沒有出去的男同學(xué).三個“0”的三個含義：一個指根本沒有男同學(xué)；一個指有，都沒有來；一個指或有或無，只是沒有出去.

另外，“0”在數(shù)學(xué)世界里是地位顯赫，表現(xiàn)力豐富，生命力極強.單就進位制方面就足以看出它的重要性，使得像計算機用的二進制這樣的東西成為可能.

至此“0”是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的，我們該如何回答呢？從它產(chǎn)生的歷史及人們所賦予它的豐富的內(nèi)容來看，說它是被發(fā)現(xiàn)的恐怕不能說服人；從它所反映的現(xiàn)實世界的諸多事實來看，說它是被發(fā)明的也不盡然.我們似乎只能這樣說：“0”是從人類的經(jīng)驗的中來的，是以發(fā)現(xiàn)為基礎(chǔ)，而成為一個非常了不起的發(fā)明.就像點燈、電話、電報、……是以發(fā)現(xiàn)電為基礎(chǔ)而成為發(fā)明成果一樣.今天，我們十分方便地、靈活的使用著包括“0”在內(nèi)的阿拉伯?dāng)?shù)字，可是，它的產(chǎn)生是多么不容易.正如馬克思所說的，阿拉伯?dāng)?shù)字“借助于0，人們只要給它們指定一定的位置，不管多大的數(shù)都能寫出來，這是最妙的發(fā)明之一”.

數(shù)學(xué)究竟是發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的，長久以來，的確存在著兩種截然不同的觀點.

一種是絕對主義的貨柏拉圖主義觀點，把數(shù)學(xué)看作揭露的觀點，堅持?jǐn)?shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)實和物質(zhì)的現(xiàn)實同樣可靠，真理不是他們創(chuàng)造的，而是大自然先天固有的.正如19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家L·克羅內(nèi)所說：“上帝創(chuàng)造整數(shù)”，整數(shù)不是來自數(shù)學(xué)家的豐富想象力，而是從人類經(jīng)驗中來的.因此，簡單算術(shù)中所包含的整數(shù)和在更深奧的數(shù)論定理中的整數(shù)，在大多數(shù)數(shù)學(xué)家看來，和天文學(xué)家看待天上發(fā)現(xiàn)的行星十分相似，都屬于發(fā)現(xiàn).這種觀點事實上在數(shù)學(xué)界中起主導(dǎo)作用.許多數(shù)學(xué)家相信進化賦予人類以理解自然的能力，而自然，像伽利略所說是用數(shù)學(xué)語言書寫的.數(shù)學(xué)家在實際研究數(shù)學(xué)時，主觀感覺是一個真實世界待發(fā)現(xiàn)，那就是數(shù)學(xué)的世界，它比物質(zhì)現(xiàn)實中的偶然事件更永恒不變，更真實可靠.

另一種觀點則強調(diào)人的創(chuàng)造力在發(fā)明數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的作用.例如，任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)最終都是建立在一組公理之上，但在許多情況下究竟才用哪些公理，還有一個選擇因素.歐幾里得幾何選用了五條假設(shè)為自明的公理，然而，黎曼選用了另一組公理，得出比歐幾里得空間更符合物理現(xiàn)實的幾何，以后其它數(shù)學(xué)家又發(fā)明探索了另一些幾何學(xué)的性質(zhì)，都是完美無缺的數(shù)學(xué).人類的這種獨創(chuàng)性—選擇，都是發(fā)明，而不是現(xiàn)實的被動發(fā)現(xiàn).

然而，當(dāng)我們在區(qū)別這兩種極端觀點的同時，是否可產(chǎn)生低三種觀點：數(shù)學(xué)既是發(fā)現(xiàn)的，又是發(fā)明的.這種觀點并不是什么中立觀，因為事實確實如此.數(shù)學(xué)是“發(fā)明”，因為數(shù)學(xué)概念完全是人類理智的創(chuàng)造物；數(shù)學(xué)又是“發(fā)現(xiàn)”，因為不同數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，當(dāng)著諸概念創(chuàng)造出來之際，已經(jīng)存在了，只是暫時還不知.數(shù)學(xué)上深刻的工作，常常是那些能夠把不同的概念、不同的領(lǐng)域聯(lián)系起來的“發(fā)現(xiàn)”. 數(shù)學(xué)世界三大難題之一的費馬大定理從提出到被完全證明的過程充分說明數(shù)學(xué)既是“發(fā)現(xiàn)”又是“說明”.費馬提出關(guān)于的代數(shù)方程在時沒有正整數(shù)解，我們知道當(dāng)時，有無數(shù)個解，費馬通過敏銳的觀察力和扎實的數(shù)學(xué)基本功發(fā)現(xiàn)了當(dāng)時，方程沒有正整數(shù)解，但是費馬并沒有明確的給出證明，在后人不斷探索這個定理證明的三百年里，不斷的發(fā)明了很多新的數(shù)學(xué)理論，最后才得以由普林斯頓大學(xué)的安德魯·懷爾斯綜合前人的“發(fā)明”和“發(fā)現(xiàn)”，最終證明了困擾數(shù)學(xué)界三百余年的數(shù)學(xué)難題.在整個證明過程中既有“發(fā)明”又有“發(fā)現(xiàn)”.

微積分作為一種計算技術(shù)，是發(fā)明的，但是一條曲線的斜率（微分）和它下面的面積（積分）這些有關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，都是和實際事物對應(yīng)的，但是它的證明卻往往是發(fā)明的.據(jù)說，愛因斯坦曾覺得他根據(jù)事實發(fā)明了相對時空的概念，可是他又覺得在做這件工作時是發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)實的一個方面.數(shù)學(xué)有兩種特征：一種是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的脈絡(luò)，當(dāng)你看到這個結(jié)構(gòu)展現(xiàn)時，你會覺得“那里有重要的的東西”，好像是你發(fā)明的，許多數(shù)學(xué)家都有類似的感覺：“在戰(zhàn)壕里我們都是柏拉圖主義者”，但每當(dāng)討論問題時又會繼續(xù)辯論：“你是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？”

發(fā)明的數(shù)學(xué)與發(fā)明的數(shù)學(xué)之間的差別，接近于主、客觀上的統(tǒng)一，發(fā)現(xiàn)的也罷，相輔相成，創(chuàng)造了一個真實的數(shù)學(xué)世界.

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