淺談圓錐曲線路 的定值、定點問題

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淺談圓錐曲線路 的定值、定點問題

◇河北尹泉英

高中數學中圓錐曲線一直是高考的熱點問題,這部分內容綜合性比較強,而且難度也較大,為了更好地解決此問題,筆者將從如下2個類型展開論述．

1定點問題

解題一般方法是尋找題目中用來聯系已知量與未知量的關系、方程、不等式，然后將已知量、未知量代入上述關系，通過整理、變形轉化為過定點的直線系、曲線系問題來解決.但整理、變形轉化的過程較煩瑣，需要足夠的耐力、技巧和細心，而有時充分利用圖形中的幾何特征來解題能收到事半功倍的效果.

(1) 求動點P的軌跡E的方程;

(2) 過點F(1,0)的直線l交曲線E于M、N2點,設點N關于x軸的對稱點為Q(M、Q不重合),求證:直線MQ過定點.

分析(1) 已知條件:定點A、B的坐標、直線PA、PB的斜率之積.

解題目標:動點P的軌跡方程.

解題方法:把動點P滿足的幾何條件轉化為代數方程.

(2)已知條件:曲線方程、直線系與曲線的交點等.

解題目標:證明直線系MQ過定點.

解題方法:使用點參數(曲線上點的坐標)表示直線系MQ,證明存在某個點的坐標使該方程的成立與參數無關.

(m2+2)y2+2my-1=0,

①

2定值問題

求解方法有2種：1)特殊值法(特殊點、特殊圖形、特殊函數、特殊位置、特殊角等)求解，即將問題的條件特殊化，以達到簡化求解過程的目的.求出定值后，再證明這個值與變量無關.2)直接推理、計算，將要求解的定值表示為某參數的函數關系，再化簡這個函數式消去變量，從而得到定值.

(1) 求曲線C1的方程.

(2) 設P(x0,y0)(y0≠±3)為圓C2外一點,過P作圓C2的2條切線,分別與曲線C1相交于點A、B和C、D.證明:當P在直線x=-4上運動時,A、B、C、D 4點的縱坐標之積為定值.

分析(1) 已知條件:曲線C1上的點到定點和定直線距離關系.

解題目標:求曲線C1的方程.

解題方法:建立定點坐標的方程,化簡整理即得曲線C1的方程.

(2)已知條件:已知2圓的方程、點P在定直線上運動.

解題目標:點A、B、C、D的縱坐標之積為定值.

解題方法:設P(-4,y0),2切線斜率k1、k2,則k1、k2滿足同一個方程,把直線方程代入曲線C1方程可用y0、k1、k2表示4點的縱坐標之積,根據上面得到的方程使用根與系數的關系整體代入得出與y0、k1、k2無關的常數.

解 (1)設M的坐標為(x,y),由已知得

72k2+18y0k+y02-9=0.

①

設過P所作的2條切線PA、PC的斜率分別為k1、k2,則k1、k2是方程①的2個實根,故

②

k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.

③

設A、B、C、D4點的縱坐標分別為y1、y2、y3、y4,y1、y2是方程③的2個實根,所以

④

同理可得

⑤

于是由式②、④、⑤得

所以,當P在直線x=-4上運動時,A、B、C、D4點的縱坐標之積為定值6400.

(作者單位：河北省泊頭市第一中學)