高中學生在導數就用中的幾個誤區

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高中學生在導數就用中的幾個誤區

◇山東劉明運

導數作為研究函數的有力工具,在處理曲線的切線、函數的單調性、極值、最值等方面起著舉足輕重的作用．但是在導數的應用過程中由于對導數知識掌握不全面、不深刻,學生容易陷入如下不易察覺的誤區．

1過一條曲線上的任意一點,必能做出切線

那么在每一點處連續的函數是否有切線呢?也不一定,例如f(x)=|x|+1，在x=0處沒有切線．

2函數在某點不可導,該點不存在切線

3如果曲線存在切線,切線只有1條

求在曲線上已知點的切線,那就只有1條．因為如果函數在該點處可導,可知在曲線上的切點是確定的,斜率也是唯一的．如果是過曲線上或曲線外的某點的切線,求出來的切線就可能不止1條了．例如:求過曲線y=x3-2x上的點(1,-1)的切線方程.所求切線方程為x-y-2=0或5x+4y-1=0.可以發現直線5x+4y-1=0并不以(1,-1)為切點,實際上是經過了點(1,-1)且以(-1/2,7/8)為切點的直線.這說明過曲線上一點的切線,該點未必是切點,切線未必只有1條．

4某區間上遞增,則f′(x)≥0恒成立

其實, 當a=3時,g′(x)=1/4-1/x2在x=2時無意義,所以a=3不符合,正確答案應為(3,+∞)．那么可導的函數在某區間M上單調遞增(減),則f′(x)≥0(f′(x)≤0)還是f′(x)>0(f′(x)<0)恒成立呢?這就要從函數單調性的充要條件說起:

1) 對于可導函數y=f(x),如果方程f′(x)=0在某個區間上至多有有限個孤立解,那么在這個區間上,f(x)為增函數的充要條件是f′(x)≥0;f(x)為減函數的充要條件是f′(x)≤0．

2) 連續函數y=f(x)在閉區間[a,b]與開區間(a,b)上具有相同的單調性．

5導數為0的點一定是極值點

要解決這個問題,首先看下面的概念:函數的導數為0的點稱為函數的駐點(駐點也稱為穩定點)極大點和極小點統稱為極值點．可導函數f(x)的極值點必然在函數f(x)的穩定點的集合之中,反之,不成立,即穩定點不一定是極值點．

錯解導函數f′(x)=3x2+2ax+b,因為函數f(x)在x=1處有極值10,可得

上述解題忽略了一個細節,解題過程中只用到f′(1)=0和f(1)=10,這能說明它是極值點嗎?當a=-3、b=3時,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函數f(x)在R上是增函數,顯然x=1不是函數f(x)的極值點;驗證當a=4、b=-11時,x=1是函數的極值點．故a+b=-7．

綜上,導數以其工具性決定了應用的廣泛性,把導數作為工具研究曲線的切線、函數的單調性與極值,簡潔、高效且具有操作性．但我們要掌握好導數這個工具,在應用時要多思考、多研究,全面深刻的使用它,以防止出現“意外”．

(作者單位：山東省濟南市歷城第一中學)