方程無數解問題的常見類型與巧用

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方程無數解問題的常見類型與巧用

◇江蘇李輝

中學數學中經常出現方程有無數解問題,讓學生感覺很是棘手.解決這類問題的一個主要思路是通過化歸轉化自主建構方程.方程思想是解決這類問題的核心思想.中學數學的方程主要類型是整式方程中的一元一次方程和一元二次方程,還有少量的非整式方程.特別是一些定值、定點、恒成立問題,如果從方程的角度去解決會得到巧妙的解法.

1巧用“方程0x=0有無數個解”

解決這類問題的依據: 關于x的方程ax+b=0有無數解?a=0且b=0.

分析定值問題可以轉化為方程問題,因為x取任意值,所以方程的解有無數個.

分析含參數的定點問題可轉化為方程問題,因為a為任意值,所以關于a的方程有無數個解.

2巧用“方程0x2+0x+0=0有無數個解”

解決這類問題的依據:關于x的方程 ax2+bx+c=0恒成立? a=0且b=0且c=0.

分析f(x)f(1/x)=k(k為常數),可轉化為關于x的一元二次方程問題,因為x為任意值,所以方程有無數解.

(b-2ak)x2+(b2+1-a2k-4k)x+(b-2ak)=0.

上式是關于x的恒等式,所以

將式①代入②可得4a2k2+1-a2k-4k=0,即(4k-1)(a2k-1)=0， 所以k=1/a2或k=1/4.若a2k=1,得b=2/a與ab≠2矛盾,所以k=1/4.

3巧用“非整式方程有無數個解”

解決這類問題的依據: 關于x的方程af(x)+b=0有無數解?a=0且b=0或af2(x)+bf(x)+c=0有無數解?a=0,b=0,c=0.

分析假設存在這樣的α、β,使得f(θ)=3/2恒成立. 由f(θ)=3/2得關于θ的方程有無數解,從而求解.

解假設存在這樣的α、β,使得f(θ)=3/2成立,則由f(θ)=3/2得

無數解問題在函數與方程、解析幾何中有廣泛的應用,在解決過程中滲透著化歸和方程的數學思想方法.通過這種綜合思維能力的訓練,學生的數學思維能力就能夠得到更深的拓展.

(作者單位：江蘇省南通市通州區實驗中學)