一道帶電小球問題的簡潔解法

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一道帶電小球問題的簡潔解法

■張郁林

在一堂物理習題課中，有同學提出了一個關于帶電小球的問題，我經過思考給出了相對簡潔的回答。問題是這樣的：

圖1

如圖1，兩個小球A、B所帶的電荷量分別為q1、q2(同種電荷)，其質量分別為m1、m2，并且小球在同一水平面上，已知兩個小球相碰后電荷重新分布(不一定均勻，兩小球不要求相同)。求兩個小球依然位于同一水平面上的條件。

解:設接觸后l1、l2與豎直線夾角為α′、β′，A、B電荷的分布為q1′、q2′。

由力平衡得：

cosα=acosβ。

(1)

sinα=bsinβ。

(2)

(1)2+(2)2得a2cos2β+b2sin2β=1。

同理可得：a2cos2β′+b2sin2β′=1。

圖2

由圖2可以直觀看出(也可以嚴格證明)，圓和橢圓在第一象限至多有一個交點，所以必有：

從上面的結果可以看出，小球相碰后仍處于同一水平線上的充要條件是兩小球電荷分布不變(前者)或兩小球電荷量互換(后者)。特別地，若兩小球完全相同，即碰撞后電荷平均分布，則兩球原來的電荷量必定相等。

附錄:

下面簡要給出l1=l2時的討論和圓與橢圓在第一象限至多有一個交點的嚴格證明。

作者單位：山東日照一中高二Ⅲ部8班