雙根式算法在圓錐曲線中的應(yīng)用

?

雙根式算法在圓錐曲線中的應(yīng)用

■孟琪峰

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的難點，計算起來尤為紛繁復(fù)雜，成為許多同學(xué)逾越不過的一道鴻溝，筆者在不斷研究后，總結(jié)出了一套利用雙根式解題的方法，能夠極大地減少計算量，提高準確率。

我們先來復(fù)習(xí)一下二次函數(shù)的三種表示方法：

(1)一般式：y=ax2+bx+c；

(2)頂點式：y=a(x-h)2+b；

(3)雙根式：y=a(x-x1)(x-x2)。

下面我們看一道題：

例1(2012年重慶卷20)如圖1，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形。

圖1

(1)求該橢圓的離心率與標準方程；

(2)過點B1作直線l交橢圓于P、Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程。

(2)由(1)知B1(-2，0)，B2(2，0)，直線l的斜率不存在時不成立。設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)。因為PB2⊥QB2，所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0。所以(x1-2)(x2-2)+k2(x1+2)(x2+2)=0①。

將l與橢圓方程聯(lián)立得x2+5k2(x+2)2-20=0。可看出x2項的系數(shù)為5k2+1。所以(5k2+1)(x-x1)(x-x2)=x2+5k2(x+2)2-20=0。

所以直線l的方程為x+2y+2=0或x-2y+2=0。

我們總結(jié)一下解題步驟：

(1)把題目中條件轉(zhuǎn)化為向量點乘的形式；

(2)把x1x2或y1y2用直線方程代換；

(3)直線與橢圓方程聯(lián)立，不要展開；

(4)求得二次項系數(shù)，轉(zhuǎn)化為雙根式；

(5)賦值兩次，求出相應(yīng)式子的值；

(6)代回化簡。

這種方法的好處主要有三點：

(1)避免了將聯(lián)立的方程解開；

(2)避免了使用韋達定理求解系數(shù)時的煩瑣計算；

(3)雙根式賦值后分母是一樣的，可直接約掉，而這是韋達定理做不到的，因為直接展開后會有常數(shù)項。

這種方法適用于各種與向量相乘有關(guān)的圓錐曲線問題，適用范圍廣，希望對同學(xué)們的復(fù)習(xí)和考試有所裨益。

作者單位：東北育才學(xué)校高中部1405班