一道抽象函數問題的多思路解析

?

一道抽象函數問題的多思路解析

■丁卓非

抽象函數是沒有給出解析式的函數，在處理此類問題時常常感到無從下手，但因其既能考查函數的概念與性質，又能考查思維能力與抽象能力，是高考中的熱點與難點，如何尋找此類問題的突破口是關鍵。本題短小精悍，但內涵十分豐富，在各類試題中常出現其變形題目，是值得研究的一道好題，所以，借助于有關文獻，通過自己的研究，得到本題的三個思路。

下面給出本題的思路分析。

思路一：函數特殊化，探究結果

考慮到是填空題，當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是定值時，可從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數、特殊角、特殊位置、特殊圖形、特殊點、特殊方程等)進行處理，從而探求出結論，所以例題可將函數特殊化，找到一個滿足條件的具體函數，從而得到結果。

又x<0時，f′(x)=x-1

反思：這種解法的關鍵是選取恰當的特殊函數，體現雙基的重要性。

思路二：從欲解的不等式入手，構造函數，轉化、猜想求解

從題中條件知，當x<0時f′(x)0時，f′(x)的關系并未給出，由f(-x)+f(x)=x2知，x與-x是相反數，所以從f(-x)+f(x)=x2求導入手，得到x>0時，f′(x)的關系。

解法2：f(-x)+f(x)=x2,得-f′(-x)+f′(x)=2x，即f′(-x)=f′(x)-2x。

當x<0時，f′(-x)=f′(x)-2x

所以當x>0時，f′(x)

從而得f′(x)

反思：上面的解法說明，解決問題的多種思路、方法與技巧來源于：(1)準確理解與運用數學概念，牢固記憶和靈活運用定理公式等基本知識。

(2)對題目特點及式子結構特征認真分析，對有關知識進行整合，注重觀察、聯想、轉化、猜想等把不熟悉的知識轉化為熟悉的已掌握的知識，從而解決問題。

作者單位：河南省駐馬店高級中學