如何解決空間幾何體表面上的最值問題

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如何解決空間幾何體表面上的最值問題

■張永豐

所謂空間幾何體表面上的最值問題，是指空間幾何體表面上的兩點(diǎn)之間的最小距離或某些點(diǎn)到某一個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最值問題。將空間幾何體表面進(jìn)行展開是化解該難點(diǎn)的主要方法，對(duì)于多面體可以把各個(gè)面按照一定的順序展開到一個(gè)平面上，將旋轉(zhuǎn)體(主要是圓柱、圓錐、圓臺(tái))按照某條母線進(jìn)行側(cè)面展開，這樣就把本來不在一個(gè)平面上的問題轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面上的問題，結(jié)合問題的具體情況在平面上求解最值即可。

例題在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=5，則沿著長(zhǎng)方體表面從A到C1的最短路線長(zhǎng)為____。

點(diǎn)撥：求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離，可以將幾何體的側(cè)面展開，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短來解答。

解析：在長(zhǎng)方體的表面上從A到C1有三種不同的展開圖。

(1)將平面ADD1A1繞著A1D1折起，得到的平面圖形如圖1所示。

圖1

(2)將平面ABB1A1繞著A1B1折起，得到的平面圖形如圖2所示。

(3)將平面ADD1A1繞著DD1折起，得到的平面圖形如圖3所示。

圖2　　　　　　　　　　圖3

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于如何將長(zhǎng)方體的表面展開，將其表面上的最短距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離來解決。因?yàn)殚L(zhǎng)方體的表面展開圖形狀比較多，其表面展開圖因展開的方式不同，會(huì)得到不同的結(jié)果，應(yīng)將這些結(jié)果再進(jìn)行比較才能確定最值。本題易出現(xiàn)的問題是只利用一種表面展開圖得出數(shù)據(jù)就誤以為是最小值。

總結(jié)：要解決好這類問題，我們同學(xué)需要對(duì)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征”、“空間幾何體的三視圖”、“空間幾何體的直觀圖”等知識(shí)點(diǎn)非常的熟悉。

作者單位：江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué)