“離散型隨機變量及其分布列”一輪復習例析

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“離散型隨機變量及其分布列”一輪復習例析

■趙長青

“離散型隨機變量及其分布列”這部分內容涉及如下三個考點，每個考點筆者都配上了具體的例題進行分析。

一、離散型隨機變量分布列的性質

例1設X是一個離散型隨機變量，其分布列為：

X-101P0.51-2qq2

則q等于()。

解析：由分布列的性質，得：

規律方法：(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數。

(2)求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據分布列，將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式。

二、求離散型隨機變量的分布列

例2在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x，y，記X=|x-2|+|y-x|。

(1)求隨機變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；

(2)求隨機變量X的分布列。

解析：(1)由題意知，x、y可能的取值為1、2、3。則|x-2|≤1，|y-x|≤2。

所以X≤3，且當x=1，y=3或x=3，y=1時，X=3。

因此，隨機變量X的最大值為3。

(2)X的所有取值為0、1、2、3。

則隨機變量X的分布列為：

X0123P19492929

規律方法：(1)求解離散型隨機變量X的分布列的步驟：第一，理解X的意義，寫出X可能取的全部值；第二，求X取每個值的概率；第三，寫出X的分布列。(2)求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數原理、古典概型等知識。

三、超幾何分布

例3PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物。根據現行國家標準GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標。

從某自然保護區2015年全年每天的PM2.5監測數據中隨機地抽取10天的數據作為樣本，監測值頻數如下表所示：

PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]頻數311113

(1)從這10天的PM2.5日均值監測數據中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率；

(2)從這10天的數據中任取3天數據，記X表示抽到PM2.5監測數據超標的天數，求X的分布列。

解析：(1)記“從10天的PM2.5日均值監測數據中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質量達到一級”為事件A，則：

(2)依據條件，X服從超幾何分布，其中N=10，M=3，n=3，且隨機變量X的可能取值為0，1，2，3。

所以隨機變量X的分布列為：

X0123P72421407401120

規律方法：對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出。超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數，超幾何分布是一個重要分布，其理論基礎是古典概型，主要應用于抽查產品，摸不同類別的小球等概率模型。

作者單位：山東省即墨市第二職業中等專業學校