一解多題，培養學生思維品質

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一解多題，培養學生思維品質

■常小平1賀永宏2

培養學生數學思維能力的方法有很多，心理學家認為，培養學生的數學思維品質是培養和發展數學思維能力的突破口，數學思維品質包含思維的廣闊性、深刻性、獨立性、批判性、邏輯性、創造性、靈活性、敏捷性、收斂性及發散性。培養學生思維品質的途徑也很多，通過一題多解能培養學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性，也可通過一解多題培養學生思維的深刻性、創造性、收斂性，增進學生思維的邏輯性，使學生覺得在解數學題時有規律可循，也能提高學生學習數學的信心。下面筆者通過兩個看似不同的2015年高考數學題及變形，尋找其本質的共同點，用同一種方法進行解答。

陜西師范大學《中學數學教學參考》(下)2014年第3期上發表了《圓錐曲線的“伴隨”點與2013年陜西高考數學題》(作者常小平,下稱文1)，文章中記錄了作者在解決直線與圓錐曲線問題時發現的一個美妙性質：點與點如影隨形地相伴著，故命名為“伴隨”點，同時給出了“伴隨”點的幾個性質，并用這些性質非常簡單地解決了2013年陜西高考數學第20題第(Ⅱ)問。為了讓讀者容易理解本文，特將文1中的結論稍加改進，擇錄如下：

“伴隨點”有如下的性質：

(1)互為“伴隨點”,即若P′是P的伴隨點，則P也是P′的伴隨點。

(2)在命題的已知條件下，P′是P的伴隨點，當A、B在x軸(或y軸)異側時，∠AP′B被x軸(或y軸)平分；當A、B在x軸(或y軸)同側時，∠AP′B的鄰補角被x軸(或y軸)平分。

(3)在命題的已知條件下，P′是x軸(或y軸)上的一點，當A、B在x軸(或y軸)異側，且∠AP′B恒被x軸(y軸)平分(或當A、B在x軸(或y軸)同側時，∠AP′B的鄰補角恒被x軸(或y軸)平分)，則P′是P的伴隨點。

2015年高考全國理科卷第20題第(2)問和2015年四川高考理科卷第20題的第(2)問都是“伴隨點”的兩個變形題，現將它們的解答實錄在此，作為一解多題的一個案例。

(1)當k=0時，分別求曲線C在點M和N處的切線方程；

(2)在y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

如圖1，這樣的點存在，為P(0,-a)。

圖1

圖2

(1)求橢圓E的方程。

當然我們也可利用QP平分∠AQB，得到直線QA和直線QB的斜率相等，設Q(0,y0)，從而求得y0=2。

變式:在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的點Q，使得∠AQP=∠BQP恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由。

這兩個高考試題的第2問及變式都有一個本質的共同點，就是圓錐曲線的“伴隨”點，讓學生透過不同的表面現象，抓住問題的本質屬性，既培養了學生的思維品質，又使學生學會了分析和研究問題。

參考文獻：

1.常小平.圓錐曲線的“伴隨點”與2013年陜西高考數學題[J].中學數學教學參考(下)，2014(3).

作者單位：1.陜西省榆林市教研室

2.陜西省榆林市第三中學