演進視覺下的Logistic模型、Probit模型、Tobit模型研究進展

【摘要】研究目的：為了探究Logistic模型、Probit模型、Tobit模型的淵源、基本原理、基本定義與區別。研究方法：通過文獻法探索模型基本原理，基于數理手段對模型加以推導、驗證，進而得出模型的一般式。研究結果：三個模型屬于同一模型體系，是隨著時間推移、問題暴露而對模型的暴露出的某一問題進行修補性研究而實現的模型演進，三個模型具有內在淵源。與此同時，三個模型依舊存在一定的內在缺陷。研究結論：Logistic模型、Probit模型、Tobit模型的演進過程是以問題為導向，沿著這一研究思路，這一模型體系將繼續演進發展，進而實現模型的優化，為日益復雜的自然、社會科學新問題服務。

【關鍵詞】Logistic模型 Probit模型 Tobit模型 正態分布

【基金項目】測繪地理信息江西省研究生創新教育基地資助。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）06-0236-02

2.Probit模型的基本原理

2.1 Probit模型溯源與基本原理

Probit模型是為解決二值響應問題而產生的，通常認為Gaddum（1933年）和Bliss（1934年）發明了Probit模型，而實際上此二人僅僅實現二值響應變量成功的概率向對應的正態偏差的轉化思想，而這一思想是德國學者Fechner在心理物理學領域率先提出的，Fechner率先提出將概率轉換為正態偏差的方法而開創出Probit方法。

在迭代過程中，初值在很大程度上影響迭代的收斂性與收斂度。經過實驗證明，初值選取得離真值越近，越有利于算法的收斂。因此，可以利用觀測到的頻率p的Probit值yu*與xu進行粗略的最小二乘擬合，然后利用擬合的結果，估計出一組Yu*作為迭代的初值。

2.2 Probit模型基本定義

設Y是一個二值的響應變量，取值為0，1。

3.Tobit模型的基本原理

3.1 Tobit模型溯源與基本原理

Tobit模型是由Tobin于1958年率先提出，用于研究被解釋變量有上限、下限、或者存在極值等問題，因此Tobit模型研究被解釋變量取值有限制、存在選擇行為的一類問題 。

4.Logistic模型、Probit模型、Tobit模型的區別

4.1 Logistic模型與Probit模型的區別

從分布角度，Logistic函數與Probit函數幾乎重疊，雖然二者都服從0-1分布，但Logistic函數服從累積正態分布（即服從Logistic分布），Probit函數服從標準正態分布。

從變量解釋的角度，對于Logistic函數，其所等于的p/（1-p）即為odds，兩個odds相比即為odds ratio（OR值），所得結果亦十分直觀。

當因變量是名義變量時，Logistic模型和Probit模型沒有本質的區別，二者的區別在于所采用的分布函數不同，Logistic模型假設隨機變量服從邏輯概率分布，而Probit模型假設隨機變量服從正態分布。單從公式、函數值角度分析，二者相差無幾，唯一的區別在于裸機概率分布圖像“尾部”比正態分布粗些。當因變量為序次變量時，回歸時只能采用有序Probit模型，有序Probit可以看作是Probit的擴展 。

4.2 Probit模型與Tobit模型的區別

Probit模型成立的條件是：if y*>0 then yi=1 else yi=0。

Tobit模型成立的條件是 ：if y*>0 then yi=yi* else yi=0。

顯然，二者在成立條件上存在差異。Tobit模型是線性概率模型，但當概率p=1時，其現實意義為事件未發生。Tobit模型估計本身無偏，但預測結果卻有偏。Probit是采用累積概率分布函數，用正態分布的累積概率作為Probit的預測概率。可以克服這個缺點，本質基本上一樣。為解決Tobit模型這一缺陷，可以采用如下變換方法：

① 使解釋變量xi所對應的所有預測值（概率值）都落在（0，1）之間。

② 同時對于所有的xi，當xi增加時，希望yi也單調增加或單調減少。

4.3 Logistic模型、Probit模型、Tobit模型的區別

Logistic模型、Probit模型、Tobit模型都是為了解決因變量為定性變量的問題。Logistic模型、Probit模型主要是為了解決線性概率模型（LPM模型）的不足；Logistic模型是對數單位模型，Probit模型是概率單位模型；Logistic模型服從累積正態分布，Probit模型服從標準正態分布；Logistic模型是為改進Malthus模型而出現的，Probit模型解決二值響應問題而產生的。而Tobit模型專門研究被解釋變量取值有限制、存在選擇行為的一類問題，其屬于線性概率模型，亦具有先天不足。

從模型產生的先后順序角度，Logistic模型產生于18世紀末，Probit模型誕生于20世紀30年代，而Tobit模型誕生于1958年。從問題解決角度，Logistic模型的出現是為了解決實證研究模型的不足而出現，Probit模型與Tobit模型出于對同一模型體系不同問題的專項研究解答。從模型運算解決角度，SPSS、SAS、Eviews、Excel皆可用于Logistic模型研究，SPSS、Stata、Eviews等可用于Probit模型分析，SPSS、Stata、Eviews等軟件可用于Tobit模型分析。

5.總結

Logistic模型、Probit模型、Tobit模型是以問題為導向的模型，在土地科學、生態學、環境科學、經濟學領域廣為應用，自該模型體系誕生200余年來，國內外諸多學者對其進行研究，其模型演進就是該模型完善的成果。本文結合國內外諸多研究者已有的研究成果，從模型的淵源、基本原理、基本定義角度進行詳細介紹與推導，其中涉及到對模型優缺點的評述。沿著這一研究思路，這一模型體系將繼續演進發展，進而實現模型的優化，為日益復雜的自然、社會科學新問題服務。

參考文獻：

[1]余愛華. Logistic模型的研究[D]. 南京林業大學，2003：5-6.

作者簡介：

宋振江（1991-），男，遼寧鞍山人，碩士研究生，主要研究方向為土地利用與管理、土地經濟管理、數量經濟學。