數學活動經驗對學生數學概念學習的影響

蘇榮亞　于波

【摘要】數學活動經驗具有過程與對象的雙重屬性，是數學課程目標“四基”的目標之一。數學活動經驗是數學概念學習的樞紐和關鍵，它為數學概念學習提供了感性材料；為概念理解提供了解釋和組織的背景；并利于學生回憶和提取數學概念。

【關鍵詞】數學概念 數學活動經驗 數學概念學習

【基金項目】系西南大學2015年度教師教學發展研究項目（項目編號SWFZ20150002）成果。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）06-0110-02

《義務教育數學課程標準（2011）》將數學活動經驗作為數學課程目標之一。學生的數學活動經驗既是學生學習數學的基礎，更是學生學習數學的資源。數學概念是數學知識的基本構成要素，數學概念學習是數學學習的基本環節。由于數學概念本身以及學生認知發展的特點，學生對數學概念的學習需要經歷從具體到抽象、從簡單到復雜的過程，而在這個過程中，數學活動經驗構成了數學概念學習的重要組成部分。

一、數學活動經驗的教育意義

1.經驗的內涵

“經驗”的一般概念包括了知識、技巧，是體驗或觀察某一事或某一事件后所獲得的心得并應用于后續作業。而這些以前獲取的知識技巧，對于以后解決問題十分關鍵。在西方，較早論述經驗的哲學家以客觀唯心主義的創始人柏拉圖為代表。在柏拉圖（Plato）看來，經驗指的是習以為常或者把過去很多偶然嘗試的結果保存下來，是附屬于感覺器官的低級認識。美國教育家杜威（JohnDewey）認為，經驗不是一種呆板、封閉的東西，它是充滿活力的、不斷發展的，經驗可以成為同理性和思考對抗的東西，也可以使我們擺脫感覺、欲望和傳統等局限性的影響。[1]可以看到，經驗產生于相互作用的過程，并且對未來產生積極或者消極的影響。經驗是一個很大的范疇，既是一種特殊的知識、技巧，又是包含了過程性的一種體會和感悟。

2.數學活動經驗的內涵

在公開發表的論文中，關于數學活動經驗的內涵并沒有形成統一，但都強調數學活動經驗是一種感受、體驗，強調了過程性、結果性以及與其他數學知識的相互聯系和影響。比如，《義務教育數學課程標準（2011年版）》[2]認為“數學活動經驗是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。數學活動經驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀。”王新民認為，“數學活動經驗是過程與結果相統一的產物，主要是一種具有過程性、創造性的個人知識”[3]，概括來說，數學活動經驗是指個體在具體數學活動中與學習環境相互作用后所獲得的經歷和感悟。

首先，數學活動經驗的產生來源于學習者與學習環境的相互作用。在一般的教學里，包含了教師的“教”與學生的“學”這兩種關系。學習是通過學生的主動行為而發生的；他學到了什么取決于他做了什么，而不是教師做了什么[4]。數學活動經驗與學習者和環境如何互動直接相關，學習者互動的方式、互動的內容、互動的情感都影響數學活動經驗的生成。其次，數學活動經驗是一種邏輯數學經驗。皮亞杰認為，在數學教育中存在著和主體動作有關的、彼此很不相同的兩種“經驗”。一種是“物理經驗”（廣義的），指作用于物體以發現物體本身的特性；另一種可被稱作“邏輯數學經驗”，這種經驗不是從特定物體的物理特性收集其信息，而是從兒童作用于物體的實際動作收集信息的[5]。數學活動經驗是一種邏輯數學經驗，它要求在一定特定的環境下對特定的目標進行行為、思維上的操作，從而去認識、理解事物。最后，數學活動經驗本質上是一個過程性目標。《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出“幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標”[6]，并且運用了過程性目標“經歷、體驗、探索”等術語來描述數學活動經驗。對于與其他數學課程目標的關系來說，數學活動經驗目標無法單獨存在，它總是滲透在基礎知識、基本技能、基本思想方法的學習過程之中，指向學習的整個過程。

3.數學活動經驗對學生發展的作用

數學活動經驗是學生必備的數學素養，是實現數學有效學習的前提和關鍵。史寧中、柳海明認為，基礎教育學科教學實施素質教育的基本路徑之一是變“雙基”為“四基”[7]；黃翔等人認為，“獲得數學活動經驗應成為數學課堂教學關注的目標”[8]。數學活動經驗在幫助學生理解數學知識、發展學生抽象思維、形成智慧方面等具有重要作用。

首先，數學活動經驗能夠幫助學生理解數學知識。數學的一大特點就是抽象性，這使得學習者無法一開始就能理解數學形式化的語言。數學活動經驗包括了知識經驗、方法經驗、過程性經驗、情感經驗等，這些已有的經驗奠定了學習者繼續學習的基礎，能夠幫助學生遇到新問題時形成一種解決問題的直覺。數學活動經驗能夠指導學生自發建構數學知識的意義，避免學習者理解上的困難。其次，數學活動經驗是實現其他數學課程目標的重要紐帶。數學活動經驗的生成需要結合具體的學習內容，這些內容可以是知識的、技能的也可以是學習者對數學的情感體驗。因此數學活動經驗的生成滲透于完成其他數學課程目標的過程之中，反過來，數學活動經驗又能動的提升其他數學課程目標的達成水平。最后，數學活動經驗有助于形成智慧。數學知識本身并不具有終極的教育價值，而更為重要的是，學習數學的過程當中經歷思考對思維的訓練，從而促進人智慧的發展。皮亞杰認為，人的智力發展的最后一個階段為形式運算或命題運算階段，就是一般講的抽象思維階段，這是認知發展的理想目標，因此教育的最高目標是具有邏輯推理能力和掌握復雜抽象概念的能力[9]。數學活動經驗強調讓學習者經歷數學知識發展的過程，自主建構對數學知識的理解，學習者不再是被動的接受知識，而是在學習過程中不斷去探索、反思、糾正，在這樣的學習過程中有助于學生創造性和批判能力的形成，為最終發展學生的智慧提供了可能。

二、數學概念學習的條件

1.數學概念的內涵

在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來，數學概念則是構成它們的基礎。數學的一個顯著特征就是概念眾多，而且不同分支的數學概念往往有不同的特點，因此概念理解是數學教學中的最基本也是最主要的任務之一[10]。從數學本身的發展來看，數學概念主要來源于兩個方面：一是直接從客觀事物的數量關系和空間形式反映而得，二是在抽象的數學理論基礎上經過多級抽象所獲得[11]。因此，數學概念可以相應的分為兩類：一類是對現實對象或關系直接抽象而形成的概念，這類概念與現實比較貼近；另一類是純數學抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產物，是一種數學邏輯構造，沒有客觀實在與之對應[12]。但是，從學習者習得數學概念的角度來看，數學概念形成并不完全是一個邏輯的過程，按照拉卡托斯的觀點，數學定義并非一開始就是精準的，其中有一個抽象化和精致化的過程。學生需要循序漸進的建立對數學概念的理解，比如范希爾理論對幾何思維水平的刻畫，他反映了學生對幾何概念的理解具有順序性。此外，作為學習者認知結構的數學概念，又會由于學習者自身的認識結構水平的不同，存在著對數學概念不同水平的理解。

2.數學概念學習的方式

對于數學概念的學習，主要包括概念形成與概念同化兩種方式。概念形成是以學生的直接經驗為基礎，用歸納的方式抽取出同一類事物的共同屬性，從而達到對概念的理解；概念同化則以學生的間接經驗為基礎，以數學語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念[13]。概念形成與概念同化是兩個相互促進的過程，概念形成包含著同化的因素，要用具體的、直接的感性材料同化新概念；同樣，概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素[14]。

3.數學概念與數學活動經驗的關系

數學概念由于上述的各種特征，它同數學活動經驗一樣，具有對象與過程的雙重屬性，不管是概念形成還是概念同化都離不開數學活動經驗。從對象性的靜態角度看，數學概念是學習者需要習得的一種數學知識；從過程性的動態角度來看，數學概念的習得需要學習者不斷經歷數學活動從而建構知識對自身的意義。不管是概念形成還是概念同化，數學概念的學習都是一個循序漸進有層次的過程，學習者都必須經歷多種數學活動，逐漸形成從具體到抽象的理解，然后又在不同的問題情境中檢驗、加深理解的程度。對于數學概念的理解，維納與稻爾提出的“概念意向”、“概念定義”以及斯根普提出的“工具性理解”與“關系性理解”都充分說明了過程對于理解的重要性。數學概念的理解是一個從簡單到復雜、從具體到抽象、從孤立到整體的循序漸進的過程，在這個過程中，伴隨著利用、重組、改造數學活動經驗。數學活動經驗是概念理解的溝通工具以及思維的材料，教師應在概念理解的不同層次開展適宜的數學活動，用多種方式對數學概念進行表征，幫助學生建立概念理解的過程。

三、數學活動經驗對數學概念學習的作用

數學活動經驗與數學概念都具有過程性和對象性的雙重屬性，對數學活動經驗的關注，從根本上說就是對數學概念理解順序性、過程性的強調。這種建立在大量數學活動經驗上的學習，對于促進學生的概念理解具有重要作用。

1.數學活動經驗為概念學習的各個階段提供了感性經驗

感性材料或感性經驗是影響概念學習的重要因素。雖然這些數學活動經驗帶有明顯的個體認知成分，并且存在原始、膚淺、片面、模糊的特征，但這類直接數學活動經驗是建構個人理解不可或缺的重要素材。如果缺乏這些數學活動經驗，學生的感性材料和感性經驗較少，就會導致學生對概念的感知不充分，概念的本質屬性和無關屬性無法充分比較，對掌握概念所必須的經驗不能建立起來。不管是稻爾提出的“數學的三個世界”、皮亞杰的“反思性抽象理論”、還是布魯納的“表征理論”，都解釋了學生的認知發展具有順序性，是從具體到形式化的過程，而在這個過程中必須以個體生理上的感知和行為為基礎。換句話說，學生頭腦形成的數學概念都有具體形象的“影子”，而這種”影子”來源于學生學習概念時的感知、操作等具體活動。通過豐富的數學活動，學生能對數學概念進行多重表征，這有利于學習者從各種表征中獲得共同的性質從而成功的建立數學概念，同時也能增強這一理解遷移至其他領域的能力。

2.數學活動經驗為概念理解提供了解釋和組織的背景

數學概念之間具有廣泛的聯系，這種聯系包括概念與背景的聯系、概念結構本身的聯系，數學概念總是處于一個組織良好的概念體系之中。因此，個別概念的意義總有部分是來自于其他概念的相互關系，或出自系統的整體特征[15]。數學概念學習總是涉及新舊概念的信息，數學活動經驗能為我們提供解釋信息的背景知識，幫助學習者建立知識之間的內在的“非人為”的邏輯聯系，從而將難以理解的數學信息組織成了一個連貫的、有意義的整體。沒有這種貫穿知識之間的數學活動經驗，學生將難以對信息做出前后一貫的解釋。比如，在學習《圓的面積》時，教師可以指導學生回憶“圓的周長公式、已學圖形的推到過程”，幫助學生回憶和提取“未知圖形的面積可以轉化為已學圖形來推導面積公式”這一重要策略。這一策略包含了豐富的數學活動經驗，不僅涉及學習這些面積公式的整個學習經歷（包括認知經驗、情感體驗性經驗、動作技能性經驗），還包含了對這些數學概念知識的回憶和鞏固。因此，學生以前的數學活動經驗不僅為“圓的面積”這一新概念的學習提供了方法上的借鑒，更提供了一個概念間相互聯系的學習背景，幫助學生理解與組織新的數學概念。

3.數學活動經驗影響學生對數學概念的回憶和提取

一般來講，積累了豐富數學活動經驗的數學概念，我們往往有更好的記憶；而對于缺乏數學活動經驗機械記憶的數學概念，記憶的效果則不太好。APOS理論指出，數學對象、圖式的形成是一種漸進的建構過程，一個數學概念由“過程”到“對象”需要經過多次的反復、循環漸進，螺旋上升的理解。在整個環節中，相應的具體操作或者數學活動提供了必要的基礎，使學生在頭腦中逐漸建立起數學知識的直觀結構形象。在這一點上，菲爾茲獎的獲得者瑟斯頓在描述數學的特征時，也提到“數學具有驚人的‘壓縮性”，而這種壓縮性來源于對數學知識的整體認知，而整體認知則需要學習者經歷對數學知識發生、發展、應用的全過程的參與和體驗。數學概念的學習是循環上升的，數學活動經驗能為不同抽象程度的學習提供多樣化的感性材料（知識領域、情感領域、動作領域），還能強化學習者的理解程度，提高學生回憶和提取新、舊知識的速度和質量。

參考文獻：

[1][美]約翰.杜威著，姜文閔譯.我們怎樣思維·經驗與教育[M]北京：人民教育出社，2005

[2][6]中華人民共和國教育部制訂.義務教育數學課程標準（2011年版）. 北京：北京師范大學出版社，2011

[3]王新民.論數學活動經驗的基本內涵及形成條件[J].課程·教材·教法.2013（11）：p55-60

[4][美]拉爾夫·泰勒著；羅康， 張閱譯.課程與教學的基本原理[M].北京：中國輕工業出版社（2014）.p66

[5][9]皮亞杰著，盧濬譯.皮亞杰教育論著選[M].北京：人民教育出版社：2015

[7]史寧中，柳海民.素質教育的根本目的與實施路徑[J].教育研究，2007（8）：10-14，57

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[10][11][14]鮑建生、周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海教育出版社.2009

[12]邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程·教材·教法.2009（7）.第29卷第7期

[13]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京師范大學大學出版社.2006

作者簡介：

蘇榮亞（1990，—），女，重慶人，西南大學教育學部在讀碩士研究生，研究方向為基礎教育課程改革。

于波（1958，6—），女，河北易縣人，西南大學教授，教師教育學院研究部主任，碩士生導師，主要從事數學教育研究。