用幾何畫板探索“小蟲爬行的最短距離”

童官豐

在幾何畫板中可以比較方便地畫出很多復雜的函數圖像。通過觀察所畫函數的圖像特征，則能進一步探索自己所遇到的一些疑難問題（特別是用初等方法很難解決或無法解決的問題）。

例如圖1，有一個圓柱，它的底面半徑為r，高為ar（a>0），在圓柱下底面的A點有一只小蟲，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？

分析：如圖2，BC是上底面直徑，D是半圓BC上任意一點（可以與B、C重合），由圓柱體的對稱性可知，只需考慮小蟲由A爬到D，再由D爬到B的這些情形即可。當D與C重合時，顯然沿折線ACB路程最短。當D與B重合時，把圓柱前面半個側面展平，如圖3，顯然沿線段AB路程最短（圖3中的線段AB展直前在圖2中是一條螺旋曲線AB）。類似地，當D與A、B不重合時，如圖2，沿螺旋曲線AD、弦DB路程最短。

不過上述這些曲線，在增減性方面還是有差別的，在閉區間[0，π]內，當-1

取a<-1，如圖7，從下到上的5條曲線分別代表a=1.20、1.25、1.30、1.35和1.40時的函數圖像。由圖像知，當x=0時，y取得最小值r（a+2）。當a繼續減少時，如圖8，從上到下的3條曲線分別代表a=1.0、0.5和0.1時的函數圖像。其基本情況與圖7一致。根據這些圖像的信息，即得如下觀察結果：當0

上述這些曲線，在增減性方面也是一致的，在閉區間[0，π]內，當0